Question

Do cardápio de uma festa constavam 8 diferentes tipos de salgadinhos dos quais 5 eram quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

Answer 1

Essa questão sobre Análise Combinatória (Combinação) tem como resultado 30 modos que o garçom poderá compor os salgadinhos da travessa.

Combinação

A combinação é a quantidade de associações possíveis de serem formadas com "p" elementos retirados de um conjunto de "n" elementos.

Na Combinação a ordem dos elementos "selecionados" de um conjunto de "n" elementos é desconsiderada.

Sua fórmula é dada por:

$C_{n,p} = \dfrac{n!}{(n-p)! \times p!}$

Em que:

• n: quantidade total do conjunto selecionado;
• p: quantidade de elementos retirados do conjunto n.

Exercício

O exercício nos apresenta os seguintes dados:

• 8 tipos de salgadinhos (5 tipos de quentes e 3 tipos de frios);
• Arrumar uma travessa com 2 tipos de salgadinhos quentes e 2 tipos de salgadinhos frios.

Logo, para saber a quantidade de modos que o garçom poderá organizar essa travessa, é necessário calcular a quantidade de associações possíveis de salgadinhos quentes e frios.

→ Salgadinhos Quentes

Combinação de 5 elementos escolhidos 2 a 2:

$C_{5,2} = \dfrac{5!}{(5-2)! \times 2!}$

$C_{5,2} = \dfrac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2}$

$C_{5,2} = \dfrac{5 \times 4 \times \!\diagup\!\!\!\! 3!}{\!\diagup\!\!\!\! 3! \times 2}$

$C_{5,2} = \dfrac{5 \times 4 }{ 2}$

$C_{5,2} = 10$

→ Salgadinhos Frios

Combinação de 3 elementos escolhidos 2 a 2:

$C_{3,2} = \dfrac{3!}{(3-2)! \times 2!}$

$C_{3,2} = \dfrac{3 \times \!\diagup\!\!\!\!2!}{ \!\diagup\!\!\!\!2!}$

$C_{3,2} = 3$

Para encontrar a quantidade total de maneiras que o garçom poderá dispor os salgadinhos na travessa, basta multiplicar $C_{3,2}$ e $C_{5,2}$.

Desse modo:

$C_{5,2} \times C_{3,2} = 10 \times 3 = 30$

Conclusão

Conforme o que foi exposto, é correto afirmar que há 30 maneiras diferentes possíveis para o garçom montar a travessa.

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