Question

Do alto de um morro de 12 m de altura, um observador vê um coelho deslocar-se em linha reta, de um ponto A até
um ponto . A linha de visão desse observador forma os ângulos indicados na imagem. Calcule a distância entre os
pontos A e B.​

Answer 1

A distância entre os pontos A e B são de 13,92 metros.

Em um triângulo retângulo, definimos o seno e o cosseno de cada um dos ângulos agudos. ( Vide a figura em anexo ).

• O seno de um ângulo agudo é dado pela razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

                $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sin{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto oposto a } \theta }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } } \quad = \quad \dfrac{b}{a} }}$

• O cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

                     $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \cos{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto adjacente a } \theta }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } }\quad = \quad \dfrac{c}{a} }}$

• O tangente de um ângulo agudo é dado pela razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente.

                            $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto a } \theta } }{ \text{ \sf {\sf medida do cateto adjacente a } \sf \theta } } \quad = \quad \sf \sf \dfrac{b}{c} }}$

Para determinar a distância de x, temos  que usar a $\boldsymbol{ \textstyle \sf \tan{30^\circ} }$. ( Vide a figura em anexo ):

Aplicando a relação de razões trigonométrica:

$\displaystyle \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto a } \theta } }{ \text{ \sf {\sf medida do cateto adjacente a } \sf \theta } }$

$\displaystyle \sf \tan{30^\circ } = \dfrac{x}{12\:m}$

$\displaystyle \sf0,57 = \dfrac{x}{12\:m}$

$\displaystyle \sf x = 0,57 \times 12\:m$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 6,84\: m }$

Para determinar a distância de y, temos que usar a $\boldsymbol{ \textstyle \sf \tan{60^\circ} }$.

Aplicando a relação de razões trigonométrica:

$\displaystyle \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto a } \theta } }{ \text{ \sf {\sf medida do cateto adjacente a } \sf \theta } }$

$\displaystyle \sf \tan{60^\circ } = \dfrac{y+x}{12\:m}$

$\displaystyle \sf 1,73 = \dfrac{ y + 6,84\:m}{12\:m}$

$\displaystyle \sf y +6,84\: m = 1,73 \times 12\:m$

$\displaystyle \sf y +6,84\: m = 20,76\:m$

$\displaystyle \sf y = 20,76 \: m - \: 8,64\: m$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 13,92\: m }}}$

A distância entre os pontos A e B são de 13,92 metros.

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