Question

 

 

Dizer, justificando, se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes:

 

a) A relação “ < ” é reflexiva.

b) Toda relação reflexiva é transitiva.

c) A recíproca da relação “ ≤ ” é a relação “ ≥ ”.

d) Toda relação não simétrica é antissimétrica .

 

Answer 1

Olá, Dhone.

 

a) FALSA. A relação "<" NÃO é reflexiva. Se a relação "<" fosse reflexiva, deveríamos ter $x < x$ , o que é um absurdo, pois $x = x$.

 

b) FALSA. Seja   $<var>A=\{1,2,3\}</var>$ e seja a seguinte relação   $<var>R \subset A\times A</var>$   tal que $<var>R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</var>$. Para  $<var>\forall (x,x) \in A \Rightarrow (x,x) \in R \Rightarrow xRx \Rightarrow R</var>$ é reflexiva. Entretanto, se tomarmos qualquer dois pares $<var>(x,y)\ e\ (y,z) \in A</var>$ tais que   $<var>x \neq y \ e\ y \neq z,</var>$ temos que $<var>(x,y) \notin R\ e\ (y,z) \notin R \Rightarrow</var>$ não há transitividade nesta relação $<var>R</var>$ , embora ela seja reflexiva.

 

 

c) VERDADEIRA. duas relações $R$ e $R'$ são recíprocas se $xRy \Rightarrow yR'x$. As relações $"\leq"$ e $"\geq"$ são, portanto, recíprocas, pois, se $x \leq y \Rightarrow y \geq x$ .

 

d) VERDADEIRA. O enunciado aqui é a própria definição de relação antissimétrica.