Question

Dizemos que uma reta é tangente a uma curva plena y =f(x) em um ponto (a, f(a)) quando a reta "encosta " na curva apenas no ponto P (a , f (a )) . neste sentindo , assinale a alternativa que indica a inclinação da reta tangente a curva y = 9 - 2x² no ponto (2 , 1 ) . a = -8
b = -1
c = 2
d =3
e =6​

Answer 1

1ª Forma : derivada

Seja uma reta tangente à uma curva no ponto P = ( a, f(a) )

$\sf y-y_o= m\cdot (x-x_o) \\\\ y - f(a) = m\cdot (x-a)$

o coeficiente angula ( m ) é dado pela derivada da curva no ponto, ou seja :
$\sf m = f'(a)$

Queremos a reta tangente à curva y= 9 - 2x² no ponto (2,1 ) :

$\displaystyle \sf \sf m=f'(x) \\\\ f(x) = 9-2x^2 \\\\ f'(x)=0-2\cdot 2x \\\\ f'(x) = -4x \\\\ \text{substituindo o ponto x = 2 } : \\\\ m = f'(2) = -4\cdot 2 \\\\ m = f'(2) = -8 \\\\ \huge\boxed{\sf \ m = -8 \ } \checkmark$

(item a)

2ª forma de resolver :

reta tangente à curva  y = 9 - 2x² no ponto (2,1 ) :

$\displaystyle \sf y-y_o=m(x-x_o) \\\\ y - 1 = m(x-2) \\\\ y = mx-2m+1$

Substituindo esse valor na equação da curva :

$\displaystyle \sf mx-2m+1 =9-2x^2 \\\\ 2x^2 +mx-2m+1-9 = 0 \\\\ 2x^2+mx-(2m+8) = 0$

Já que a reta é tangente só há um ponto de intersecção, logo o Delta deve ser igual a zero, então :

$\displaystyle \sf 2x^2+mx-(2m+8) = 0 \\\\ a =2 \ , \ b = m \ , \ c = -2m-8 \\\\ \Delta = 0 \\\\ b^2-4\cdot a\cdot c = 0 \\\\ m^2-4\cdot 2 \cdot (-2m-8) = 0 \\\\ m^2 +16m + 64 =0 \\\\ (m+8)^2 = 0 \\\\ m+8 = 0 \\\\ \huge\boxed{\sf \ m = -8 \ }\checkmark$

item a