Matemática, perguntado por Luh1luh, 5 meses atrás

Dizemos que ∑▒u_n é absolutamente convergente se a serie de valores
absolutos∑▒〖|u_n | 〗 for convergente.Por outro lado,a serie ∑▒u_n é dita
condicionalmente convergente se ela for convergente mas não for
absolutamente convergente.
Use as informações acima e determine se a serie
∑_(n=2)^∞▒〖(-1)^n 〖log〗_n e〗
É absolutamente convergente,condicionalmente convergente ou divergente.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por rafaelhafliger7
7

Resposta:

A série é condicionalmente divergente.

Resolução:

Em uma primeira análise, para determinar se a série é convergente ou divergente, aplicamos o Teste da Série Alternada:

"A série \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^na_n\] converge quando as seguintes duas condições são satisfeitas:

i. \lim_{n \to \infty} a_n = 0 e

ii. |a_{n+1}| \leq |a_n|."

No caso, temos

i. log_ne = \dfrac{ln\text{ }e}{ln\text{ }n} = \dfrac{1}{ln\text{ }n} \rightarrow 0, e

ii.ln\left(n+1\right) > ln\text{ }n \implies \dfrac{1}{ln\left(n+1\right)} \leq \dfrac{1}{ln\text{ }n}.

Logo, \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\] é convergente. Entretanto,

ln\text{ }n < n \implies log_ne = \dfrac{1}{ln\text{ }n} > \dfrac{1}{n}\\\\\\\implies \[ \sum_{n=2}^{\infty} log_ne > \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n}\].

É bem sabido que a série harmônica diverge. Logo, \[ \sum_{n=2}^{\infty}  log_ne\] diverge, então \[ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n log_ne\] é condicionalmente convergente.

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