Question

dividindo-se o polinômio P(x),por(x-1)achou-se o resto 6 e dividindo-o por (x-2), achou-se o resto 18 .Qual o resto da divisão P(x) pelo produto (x-1)(x-2)?

Answer 1

❑ O resto da divisão polinomial é 12x - 6.

❑  Teorema do resto

➯ O resto r(x) da divisão de um polinômio p(x) por um binômio x - a é r = p(a). É preciso saber, ainda, que o resto r(x) deve ter um grau menor do que o polinômio do divisor.

$\boxed{ P(x) = R(x) + Q(x) \cdot D(x) }$

Em que:

P(x) = dividendo

R(x) = resto

Q(x) = quociente

D(x) = divisor

❑  Resolução da questão

• Por isso, temos da primeira operação que, se P(x) dividido por (x - 1) tem resto 6, então 6 = p(1).

• De forma análoga, pode-se dizer que p(2) = 18

➯ A divisão requerida é:

$P(x) = R(x) + (x-1)(x-2) \cdot Q(x)$

• Fazendo a distributiva, temos que:

$P(x) = R(x) +(x^{2}-3x+2) \cdot Q(x)$

• Perceba que o polinômio do divisor tem grau 2. Portanto, o grau de R(x) deve ser menor, tendo grau 1 ou menor. Portanto, é válido escrevê-lo como ax + b:

$P(x) = ax + b+(x^{2}-3x+2) \cdot Q(x)$

➯ Fazendo x = 1:

$P(1) = 1a + b+(1^{2}-3 \cdot 1 +2) \cdot Q(1)$

• Mas P(1) = 6:

$6= 1a + b+ 0 \cdot Q(1)$

$a + b = 6$

➯ Fazendo x = 2:

$P(2) = 2a + b+(2^{2}-3 \cdot 2 +2) \cdot Q(2)$

• Mas P(2) = 18:

$18 = 2a + b+(0) \cdot Q(2)$

$2a + b = 18\\a + (a + b) = 18\\a + 6 = 18\\\boxed{a = 12}$

$b = 6 - a\\b = 6 - 12\\\boxed{ b = - 6 }$

➯ Como definimos antes, o resto R(x) = ax + b. Logo:

$\boxed{ R(x) = 12x - 6}$

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