Question

Dividindo 220 em partes inversamente proporcionais a 6, 4 e 2, a menor parte será igual a: a) 90 b) 80 c) 60 d) 40

Answer 1

A menor parte será igual a: d) 40.

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Considerações pré-resolução

Sabe-se que duas grandezas são inversamente proporcionais assim que, na mesma proporção, uma aumenta e a outra diminui. Posto isto, sejam $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ os valores de uma grandeza $A$, inversamente proporcionais aos valores $b_1$, $b_2$, ..., $b_n$ de uma outra grandeza $B$, temos que

                                   $\displaystyle\Largea_1b_1=a_2b_2=...=a_nb_n=k$

, sendo $k$ a constante de proporcionalidade.

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Resolução

Deseja-se repartir o número 220 em partes inversamente proporcionais a 6, 4 e 2 e, em seguida, indicar qual é a menor parte obtida.

Vamos denotar por $p_1$, $p_2$ e $p_3$, respectivamente, as partes que desejamos encontrar. Se ($p_1$, $p_2$, $p_3$) e (6, 4, 2) são inversamente proporcionais, então

                                   $\displaystyle\Largep_1\cdot 6=p_2\cdot4=p_3\cdot2=k.$

Onde desta expressão, tiramos que

                                     $\displaystyle\Largep_1=\dfrac{k}{6},~p_2=\dfrac{k}{4},~p_3=\dfrac{k}{2}$

, por onde obtemos todas as partes em função de $k$. Sabendo que a soma destes três números deve resultar em 220, segue que

                               $\displaystyle\Large\begin{gathered}p_1+p_2+p_3=220\\\\\dfrac{k}{6}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{2}=220\\\\\dfrac{k}{6}\cdot12+\dfrac{k}{4}\cdot12+\dfrac{k}{2}\cdot12=220\cdot12\\\\k\cdot2+k\cdot3+k\cdot6=220\cdot12\\\\k\cdot11=220\cdot12\\\\k=\dfrac{220\cdot12}{11}\\\\k=20\cdot12\\\\k=240.\end{gathered}$

Assim, as partes obtidas após a repartição, são:

$\displaystyle\Large\text{ \left\{\begin{array}{lll}p_1=\dfrac{k}{6}=\dfrac{240}{6}=\boxed{40};\\\\p_2=\dfrac{k}{4}=\dfrac{240}{4}=\boxed{60};\\\\p_2=\dfrac{k}{2}=\dfrac{240}{2}=\boxed{120}.\end{array}\right. }$

Portanto, a menor parte é igual a 40, condizendo com a alternativa d.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.