Question

dívida os números 2 3 7 11 13 17 em dois grupos de tal forma que multiplicando todos os números de um grupo e todos do outro encontramos números consecutivos​

Answer 1

Correção ao enunciado:

Divida os números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois grupos de tal forma que multiplicando todos os números de um grupo e todos do outro encontramos números consecutivos.

Obs.: Se não incluirmos o 5 à lista de números, não é possível resolver esse problema no conjunto dos números naturais. Segue abaixo a resposta na qual o 5 está incluso à lista.

Resposta:

     $A=\{2,\,3,\,7,\,17\}\quad\Longrightarrow\quad 2\cdot 3\cdot 7\cdot 17=714\\\\ B=\{5,\,11,\,13\}\quad\Longrightarrow\quad 5\cdot 11\cdot 13=715$

Explicação passo a passo:

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, tais que $A\cup B=\{2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17\}.$

Seja $n$ o resultado do produto dos elementos de A. Sem perda de generalidade, o produto dos elementos de B deverá ser igual a $n+1.$

Observe que os elementos de A ∪ B são números primos.

Como A e B devem ser disjuntos, o produto dos elementos da união A ∪ B deve ser

     $n\cdot (n+1)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^2+n=510510$

Como estamos trabalhando com o produto de números consecutivos, é interessante tentar completar os quadrados no lado esquerdo da equação.

Para facilitar, multiplique os dois lados por 4. Assim, evitamos ter de manipular termos fracionários ao longo do desenvolvimento:

     $\Longleftrightarrow\quad 4\cdot (n^2+n) =4\cdot 510510\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4n^2+4n=2042040\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2n)^2+2\cdot (2n)\cdot 1=2042040$

Some 1² aos dois lados, e assim identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

     $\Longleftrightarrow\quad (2n)^2+2\cdot (2n)\cdot 1+1^2=2042040+1^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2n+1)^2=2042040+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2n+1)^2=2042041$

Observando a última igualdade, concluímos que a equação só terá solução para $n$ natural se 2042041 for um quadrado perfeito de um número ímpar.

No entanto, 2042041 = 1429². Substituindo na equação, temos

     $\Longleftrightarrow\quad (2n+1)^2=1429^2\\\\ \Longrightarrow\quad 2n+1=\sqrt{1429^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2n+1=1429\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2n=1429-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2n=1428\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=\dfrac{1428}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=714\qquad\checkmark$

Logo,

• O produto dos elementos de A é $n=714,$

• O produto dos elementos de B é $n+1=715.$

Decompondo 714 em fatores primos, temos

     $\begin{array}{r|r}714&2\\ 357&3\\ 119&7\\ 17&17\\ 1 \end{array}$

     $\Longrightarrow\quad 714=2\cdot 3\cdot 7\cdot 17\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=\{2,\,3,\,7,\,17\}\qquad\checkmark$

Não é necessário decompor 715 em fatores primos para encontrarmos os elementos de B, pois como consequência da construção da solução, segue que

    $\Longrightarrow\quad B=(A\cup B)-A\\\\ \Longleftrightarrow\quad B=\{5,\,11,\,13\}\qquad\checkmark$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!