Question

divida o polinômico p(x) =x³ -4x²+7x-3 por d(x) = x² -3x +2 pelo método da chave​

Answer 1

O método chave ou também conhecido como divisão longa é um algoritmo para dividir dois números, obtendo o quociente um dígito de cada vez. A implementação de um processo de divisão padrão permite encontrar quocientes entre números arbitrariamente grandes, sem a necessidade de recorrer a tabelas com os resultados. Este tem sido um método "arcaico" que eles nos ensinam na escola quando estamos apenas aprendendo a dividir (ensino fundamental).

Embora seja usado principalmente com números inteiros ou decimais, também pode ser usado com polinômios, mas funciona de maneira um pouco diferente. Lembremos que a estrutura da divisão com o nome de suas partes é a seguinte:

$\\\begin{array}{l|l}~~~Dividendo&\underline{ Divisor}\\~~~ Resto&~ Quociente\end{array}$

Onde o dividendo é o maior número entre o qual queremos dividir e o divisor é o menor número, em termos de polinômios, o dividendo é o polinômio de maior grau e o divisor é o polinômio de menor grau. Verificando o grau de ambos os polinômios podemos ver que a divisão e o divisor são iguais a:

$\\\begin{array}{l|l}~~~x^3-4x^2+7x-3&\underline{ x^2-3x+2}\\~~~ &~ \end{array}$

Devemos encontrar algum termo que quando multiplicado por $x^2-3x+2$ seja igual ou próximo de $x^3-4x^2 +7x -3$, este processo pode às vezes ser um pouco complicado, mas com muita paciência e dedicação podemos encontrá-lo. Podemos ver que se multiplicarmos $x$ por $x^2-3x+2$ teremos $x\cdot\left(x^2-3x+2\right )= x^3-3x^2+2x$, subtraindo este resultado pela divisão temos:

$\\\begin{array}{l|l}~~~x^3-4x^2+7x-3&\underline{ x^2-3x+2}\\ - \,\underline{x^3-3x^2+2x+0 }&~x \\ \qquad \quad-x^2+5x - 3\end{array}$

O resultado desta subtração é um polinômio de menor grau que o anterior, podemos notar que este polinômio ainda é divisível por $x^2-3x+2$ portanto devemos encontrar um termo para multiplicar $x^2-3x+2$ é igual ou próximo de $-x^2+5x-3$, podemos ver que -1 é o único número desde -1 vezes $x ^2 -3x+2$ é igual a $-1\cdot\left(x^2-3x+2\right)=-x^2+3x-2$ então temos:

$\\\begin{array}{l|l}~~~x^3-4x^2+7x-3&\underline{ x^2-3x+2}\\ - \,\underline{x^3-3x^2+2x+0 }&~x-1 \\ \qquad \quad-x^2+5x - 3 \\\qquad \quad-\,\underline{-x^2+3x-2}&\\\qquad\qquad \qquad \qquad2x-1 \end{array}$

O resultado é um polinômio de grau muito inferior ao anterior, podemos ver que este polinômio é de grau inferior ao divisor, portanto finalizamos e a conclusão seria:

$\\\green{\begin{array}{l|l}~~~x^3-4x^2+7x-3&\underline{ x^2-3x+2}\\~~~\qquad\qquad~~\underbrace{2x-1}_{Resto} &~ \underbrace{x-1}_{Quociente}\end{array}}$