Question

Distribuição binomial
Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a um tipo de cirurgia, da qual 80% sobrevivem. Qual a probabilidade de que:
a) Todos sobrevivam
b) Pelo menos 2 sobrevivam
c) No máximo 3 não conseguiram sobreviver.

Answer 1

Prob sucesso = 80/100 = 4/5
Prob insucesso = 1/5
a) 5 tentativas e cinco sucessos e zero insucesso.
C5,5.(4/5)^5.(1/5)º = 1024/3125

b) Quando vc vai num salão de dança e diz que vai dançar com pelos menos 2 meninas, significa que vc vai dançar com 2 ou 3 ou 4 ou 5 e nunca menos de 2. Assim pelos menos duas sobreviverem significa 2 ou 3 ou 4 ou 5 e nunca menos de 2.

[C5,2.(4/5)².(1/5)³] + [C5,3.(4/5)³.(1/5)²]+[C5,4.(4/5)^4.(1/5)¹]+[C5,5.(4/5)^5.(1/5)° =

[10.(16/5²).(1/5³)] + [10.(64/5³).(1/5²)]+[5.(64/5^4).(1/5)]+[1.(1024/5^5.1)] =

[160/5^5] + [640/5^5)]+[320/5^5]+[1024/5^5] =2144/3125

c) [C5,0.(1/5)°.(4/5)^5] + [C5,1.(1/5)¹.(4/5)^4]+[C5,2.(1/5)².(4/5)³]+[C5,3.(1/5)³.(4/5)²] =

[1.1.(1024/5^5] + [5.(256/5^5] + [640/5^5] + [160/5^5] =

[1024/5^5] + [1280/5^5] + [640/5^5] + [40/5^5] = 3104/3125

Answer 2

A) A probabilidade para que todos os pacientes sobrevivam é de 32,768%.

B) A probabilidade para que pelo menos 2 pacientes sobrevivam é de 47,104%.

C) A probabilidade para que no máximo 3 pacientes não sobrevivam é de 0,9386%.

O que é distribuição binomial?

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidades para experimentos com apenas dois tipos de resultados: sucesso ou fracasso. Um experimentos binomial possui as seguintes características:

• Admitem dois resultados diferentes
• As ocorrências são independentes ente si
• A probabilidade do evento ocorrer é constante para cada observação.

Para obter a probabilidade de uma distribuição binomial utilizamos a seguinte fórmula:

$Pk = Cn,k * p^k * q^{n-k}$

Onde:

• k é o nº de ocorrências que desejamos
• n é o número de observações
• p probabilidade de sucesso em cada tentativa
• q probabilidade de fracasso em cada tentativa
• Cn,k é a fórmula da combinação simples: Cn,k = [n!/k!(n - k)!].

Alternativa A

Nesta questão queremos a probabilidade de que todos sobrevivam, teremos os seguintes valores:

• k é o nº de pessoas que sobrevivam. k = 5.
• n é o de pacientes. n = 5
• p é a chance de sobrevivência. p = 80% = 0,8.
• q é a chance de não sobreviver. p = 20% = 0,2.

Aplicando a fórmula:

$Pk = \frac{n!}{k!(n - k)!} * p^k * q^{n-k}$

$Pk = \frac{5!}{5!(5 - 5)!} * 0,8^5 * 0,2^{5-5}$

$Pk = \frac{5!}{5!0!} * 0,32768 * 0,2^{0}$

$Pk = \frac{120}{120*1} * 0,32768 * 1$

$Pk = 1 * 0,32768$

A probabilidade será de 32,768%.

Alternativa B

Nesta questão queremos a probabilidade de que pelo menos 2 pessoas sobrevivam, teremos que calcular a probabilidade de 2, 3, 4 e 5 pessoas sobrevivam teremos os seguintes valores:

• k é o nº de pessoas que sobrevivam. k = 2, 3, 4 e 5.
• n é o de pacientes. n = 5
• p é a chance de sobrevivência. p = 80% = 0,8.
• q é a chance de não sobreviver. p = 20% = 0,2.

Aplicando a fórmula para P2:

$Pk = \frac{2!}{2!(5 - 2)!} * 0,8^2 * 0,2^{5-2}$

$Pk = \frac{5!}{2!(3)!} * 0,8^2 * 0,2^{3}$

$Pk = \frac{120}{2*6} * 0,64 * 0,008$

$Pk = \frac{120}{12} * 0,00512$

$Pk = 10 * 0,00512$

$Pk = 0,0512$

A probabilidade será de 5,12%.

Aplicando a fórmula para P3:

$Pk = \frac{3!}{3!(5 - 3)!} * 0,8^3 * 0,2^{5-3}$

$Pk = \frac{3!}{3!(2)!} * 0,8^3 * 0,2^{2}$

$Pk = \frac{6}{6*2} * 0,512 * 0,04$

$Pk = \frac{6}{12} * 0,02048$

$Pk = 0,5 * 0,02048$

$Pk = 0,01024$

A probabilidade será de 10,24%.

Aplicando a fórmula para P4:

$Pk = \frac{4!}{4!(5 - 4)!} * 0,8^4 * 0,2^{5-4}$

$Pk = \frac{4!}{4!(1)!} * 0,8^4 * 0,2$

$Pk = \frac{24}{24*1} * 0,4096 * 0,2$

$Pk = \frac{24}{24} * 0,08192$

$Pk = 1 * 0,08192$

$Pk = 0,08192$

A probabilidade será de 8,192%.

Do exercício anterior já sabemos que probabilidade quando as 5 pessoas sobrevivem é 0,32768.

Somando as probabilidades:

$P(k\geq 2) = P2 + P3 + P4 + P5$

$P(k\geq2) = 0,0512 + 0,01024 + 0,08192 + 0,32768$

$P(k\geq2) = 0,47104$

A probabilidade será de 47,104%

Alternativa C

Nesta questão queremos a probabilidade de que no máximo 3 pessoas não sobrevivam, teremos que calcular a probabilidade de que 1, 2, 3 pessoas não sobrevivam teremos os seguintes valores:

• k é o nº de pessoas que não sobrevivam. k = 1, 2 e 3.
• n é o de pacientes. n = 5
• p é a chance de não sobrevivência. p = 20% = 0,2.
• q é a chance de sobreviver. p = 80% = 0,8.

Aplicando a fórmula para P1:

$Pk = \frac{1!}{1!(5 - 1)!} * 0,2^1 * 0,8^{5-1}$

$Pk = \frac{1!}{1!*4!} * 0,2 * 0,8^{4}$

$Pk = \frac{1}{24} * 0,2 * 0,4096$

$Pk = 0,041667 * 0,08192$

$Pk = 0,003413$

A probabilidade será de 0,3413%

Aplicando a fórmula para P2:

$Pk = \frac{2!}{2!(5 - 2)!} * 0,2^2 * 0,8^{5-2}$

$Pk = \frac{2!}{2!*3!} * 0,2^2 * 0,8^{3}$

$Pk = \frac{2}{2*6} * 0,04 * 0,512$

$Pk = \frac{2}{12} * 0,02048$

$Pk = 0,003413$

A probabilidade será de 0,3413%

Aplicando a fórmula para P3:

$Pk = \frac{3!}{3!(5 - 3)!} * 0,2^3 * 0,8^{5-3}$

$Pk = \frac{3!}{3!*2!} * 0,2^3 * 0,8^{2}$

$Pk = \frac{6}{6*2} * 0,008 * 0,64$

$Pk = \frac{6}{12} * 0,00512$

$Pk = 0,5 * 0,00512$

A probabilidade será de 0,256%.

Somando as probabilidades:

$P(k\geq 2) = P2 + P3 + P4 + P5$

$P(k\geq2) = 0,009386$

A probabilidade será de 0,9386%.

Para saber mais sobre distribuição binomial, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/5271351

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