Question

Distribuição binomial
Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados no ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados.

Answer 1

Olá Lucas!

20% são alérgicos

80% não são alergicos

p = 20/100 ⇒ 1/5

q = 80/100 ⇒ 4/5
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k = 4 , 5 ....... 13
n = 13.

$P(X \geq 4) = 1 - P(X\ \textless \ 4)$

Vamos calcular a probabilidade de ser menor que 4, assim calcularemos menos.

$P(X \ \textless \ 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$


$\\ P(X=0) = C13,0*p^0q^1^3^-^0 \\ \\ P(X=0) = 1*1*( \frac{4}{5} )^1^3 \\ \\ P(X=0) = ( \frac{4}{5} )^1^3$

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$\\ P(X=1) = C13,1*p^1*q^1^3^-^1 \\ \\ P(X=1) = 13*( \frac{1}{5} )^1*( \frac{4}{5} )^1^2 \\ \\ P(X=1) = \frac{13}{5} * ( \frac{4}{5} )^1^2$

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$\\ P(X = 2) = C13,2*p^2q^1^3^-^2 \\ \\ P(X = 2) = \frac{13!}{(13-2)!2!} (\frac{1}{5} )^2( \frac{4}{5} )^1^1 \\ \\ P(X = 2) = \frac{13*12*11!}{11!2} * \frac{1}{25} *( \frac{4}{5} )^1^1 \\ \\ P(X = 2) = \frac{78}{25} *( \frac{4}{5} )^1^1$

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$\\ P(X=3) = C13,3*p^3q^1^3^-^3 \\ \\ P(X = 3) = \frac{13!}{(13-3)!3!} ( \frac{1}{5} )^3( \frac{4}{5} )^1^0 \\ \\ P(X = 3) = \frac{13*12*11*10!}{10!6} ( \frac{1}{125} )( \frac{4}{5} )^1^0 \\ \\ P(X = 3) = \frac{286}{125} *( \frac{4}{5} )^1^0$

Logo,


$\\ P(X \geq 4)=1-P(X\ \textless \ 4) \\ \\ P(X\ \textless \ 4) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \\ \\ P(X\ \textless \ 4) = ( \frac{4}{5} )^1^3+ \frac{13}{5} ( \frac{4}{5} )^1^2+ \frac{78}{25} ( \frac{4}{5} )^1^1+ \frac{286}{125} ( \frac{4}{5} )^1^0 \\ \\ P(X\ \textless \ 4) = 0,7473 \\ \\ P(X \geq 4) =1 - 0,7473 \\ \\ P(X \geq 4) = 0,2526$

P(X >=4) ≈ 25,26%

Answer 2

Resposta correta : = 0,2526