Question

(Distância entre dois pontos) Em cada item, calcule a distância entre o ponto A e a reta r.
a) A (2, 2) e r: 2y+x-1=0
b) A (-1, 3) e r: y-3x+6=0

Answer 1

Inicialmente, devemos saber que, tomando um ponto $P(x_0,y_0)$ e uma reta $r:~~ax+by+c=0$, a distância entre eles $d(P,r)$ é dada por:

$d(P,r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Com isso, podemos calcular diretamente o que é pedido nos itens a seguir:

a) Calculando $d(A,r)$, temos:

$d(A,r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|1\cdot 2+2\cdot 2+(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|2+4-1|}{\sqrt{1+4}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|5|}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}\\\\ \boxed{d(A,r)=\sqrt{5}~u.c.}$

b) Calculando $d(A,r)$, temos:

$d(A,r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|(-3)\cdot(-1)+1\cdot3+6|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|3+3+6|}{\sqrt{9+1}}\\\\ d(A,r)=\dfrac{|12|}{\sqrt{10}}=\dfrac{12}{\sqrt{10}}=\dfrac{12\sqrt{10}}{10}\\\\ \boxed{d(A,r)=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}~u.c.}$