Question

Dispõe-se de um rolo com 100m (lineares) de tela para cercar um terreno retangular, que tem uma parede ao longo de um de seus lados (que não será cercada). Determinar as dimensões do terreno de modo que a sua área seja a máxima

Answer 1

Ilustração:

Seja "y" o lado desse retângulo:

Seja "x" a base desse detângulo:

_ _ _
x | y
___ |
x

Dados:

Arame = 200m
____________

Vamos calcular o perímetro desse retângulo:

P = 2x+ y

Substituindo 200m no lugar do perímetro teremos:

200 = 2x + y

Isolando "2x"

y = 200- 2x
__________

Vamos calcular a área desse retângulo:

A = b×h

A = xy

Substituindo "y" nessa eq:

A = x( 200 -2x)

A = 200x - 2x^2
____________


A área máxima será os pontos críticos dessa função.

A = 200x -2x^2

dA/dx = d(200x -2x^2)/dx

dA/dx = 200 - 4x

Igualando-se a zero teremos o seguinte:


dA/dx = 0

200 - 4x = 0

-4x = -200 ×(-1)

4x = 200 ÷4

x = 50m
____________

Então, o valor de y será:

P = 2x + y

200 = 2×50 + y

200 = 100 + y

y = 200 -100

y = 100m
___________