Question

Discutiremos neste problema um modelo microscópico clássico capaz de descrever a dependência da função dielétrica de um gás com respeito à variação do comprimento de onda λ da luz. Esse fenômeno possibilita, entre outros efeitos, a formação de arco-íris. Ele também é o fundamento físico através do qual um prisma óptico é capaz decompor a luz branca em diferentes cores. Considere um gás, de densidade volumétrica de partículas N, em uma região atravessada por uma onda eletromagnética plana e monocromática

~ E(z,t) = E0 cos(Kz−ωt)ˆ x,

em que ˆ z é a direção de propagação da onda, e o campo elétrico, ~ E(z,t) tem a direção do eixo ˆ x. A interação atrativa entre a molécula do gás e um de seus elétrons pode ser modelada, em primeira aproximação, por uma mola de constante elástica k = mω2 0, em que m representa a massa do elétron e ω0 uma frequência angular característica elevada. Veja a figura a seguir.
Em algum momento a aproximação (1 + x)n ≈ 1 + nx, para |x| 1, poderá ser utilizada. Parte I. O campo elétrico exerce uma força que polariza a molécula tirando o elétron da posição de equilíbrio x = 0. Despreze mecanismos de perdas e a componente magnética da força de Lorentz. Considere ω < ω0 e a carga elétrica do elétron representada por −e. Faça o que se pede nos itens a seguir.

( a )Determine a força elétrica ~ Fe(t) sobre o elétron na posição z = 0.

( b )Escreva a equação de movimento desse elétron.

( c )Considere que, em regime estacionário, a função horária da posição do elétron pode ser escrita como x(t) = Acos(ωt−φ), determine A e φ.

Answer 1

(a) A força que atua uma carga é dada pelo produto entre a carga e o campo elétrico. Assim em $z=0$, tem-se:

$\vec{F}_\textrm{e}(t) = -e\vec{E}(0,t) = -e E_0 \cos(K \times 0 - \omega t)\hat{x} = -e E_0\cos(\omega t)\hat{x}.$

(b) A equação do movimento é dada pela lei de Newton:

$\vec{F} = m\vec{a} \iff -k\vec{x} - e E_0\cos(\omega t)\hat{x} = m\dfrac{\textrm{d}^2\vec{x}}{\textrm{d}t^2} \iff\\\\\iff \dfrac{\textrm{d}^2\vec{x}}{\textrm{d}t^2} = -\dfrac{k}{m}\vec{x} - \dfrac{e}{m} E_0\cos(\omega t)\hat{x} \iff \boxed{\dfrac{\textrm{d}^2\vec{x}}{\textrm{d}t^2} = -\omega_0^2\vec{x} - \dfrac{e}{m} E_0\cos(\omega t)\hat{x}}.$

Esta equação é trivial nas direções $y$ e $z$:

$\dfrac{\textrm{d}^2 y}{\textrm{d}t^2} = \dfrac{\textrm{d}^2 z}{\textrm{d}t^2} = 0.$

Na direção $x$, temos:

$\dfrac{\textrm{d}^2 x(t)}{\textrm{d}t^2} = -\omega_0^2 x(t) - e E_0\cos(\omega t).$

(c) Escrevendo agora $x(t) = A \cos(\omega t - \phi)$, temos:

$\dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t} = -\omega A\sin(\omega t - \phi) \implies \dfrac{\textrm{d}^2x(t)}{\textrm{d}t^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t-\phi).$

Substituindo na equação em (b), temos:

$-\omega^2 A \cos(\omega t - \phi) = -\omega_0^2 A\cos(\omega t - \phi) - e E_0 \cos(\omega t - \phi) \iff \\\\\iff -\omega^2 A = -\omega_0^2 A - eE_0 \iff A(\omega_0^2 - \omega^2) = -e E_0 \iff A = - \dfrac{e E_0}{\omega_0^2 - \omega^2}.$

Supondo agora que a partícula está na posição de equilíbrio no instante inicial, temos:

$x(0) = 0 \iff A\cos(\omega \times 0 - \phi) = 0 \iff \cos \phi = 0 \implies \phi = \dfrac{\pi}{2}.$