Question

Discutir o sistema linear abaixo em função de m.
x + my + 3z = 1
2x - y + mz = m
x + my + z = -1

Answer 1

Resposta:

O sistema é SPD para m ≠ - 1/2 e SI para m = - 1/2.

Explicação passo a passo:

Um sistema linear pode ser classificado segundo às suas soluções como:

SPD - Sistema Possível e Determinado (possui uma única solução)

SPI - Sistema Possível e Indeterminado (possui infinitas soluções)

SI - Sistema Impossível (não possui soluções)

Para que o sistema seja SPD, basta que o determinante D da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Caso seja igual a zero o sistema será SPI ou SI de forma que para ser SPI devemos ter uma equação que seja proporcional a outra.

Assim, de acordo com o sistema dado podemos montar a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante.

$\begin{vmatrix}1 & m & 3\\ 2 & -1 & m\\ 1 & m & 1 \end{vmatrix}=0\\\\-1+m^2+6m+3-m^2-2m=0\\\\4m=-2\\\\m=-\dfrac{1}{2}$

O sistema é SPD para m ≠ - 1/2.

Fazendo m = - 1/2 o sistema pode ser SPI ou SI daí temos:

x - y/2 + 3z = 1

2x - y - z/2 = - 1/2

x - y/2 + z = -1

Multiplicando a primeira e segunda equações por 2.

2x - y + 6z = 2   (I)

2x - y - z/2 = -1/2      (II)

2x - y + 2z = -2  (III)

Observe que se subtrairmos (II) de (I) temos 13z = 5 ⇒ z = 5/13, por outro lado se subtrairmos (III) de (I) temos 4z = 4 ⇒ z = 1

O que mostra que o sistema é impossível para m = - 1/2.