Question

Discuta os sistemas em função dos parâmetros. Preciso urgente para entregar hoje valendo nota,matéria nova e não consegui entender.

b) x+y-z=1
2x+3y+az=3
x+ay+3z=2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cristiane, que a resolução é simples.
Pede-se para discutir o sistema em função dos parâmetros dados em cada equação constitutiva do seguinte sistema:

{x + y - z = 1
{2x + 3y + az = 3
{x + ay + 3z = 2

Veja: o sistema será possível e determinado (SPD) se - e somente se - a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas for diferente de zero.
Assim, para que o sistema seja possível e determinado, deveremos impor que a matriz a seguir, já colocada na forma de desenvolver (método de Sarrus), seja diferente de zero, ou seja:

|1....1....-1|1....-1|
|2....3....a|2.....3| ≠ 0 ---- desenvolvendo, teremos:
|1....a....3|1....a|

1*3*3 + 1*a*1 + (-1)*2*a - [1*3*(-1) + a*a*1 + 3*2*(-1)] ≠ 0
9 + a - 2a - [- 3 + a² - 6] ≠ 0
9 - a - [a² - 9] ≠ 0 ---- retirando-se os colchetes, teremos:
9 - a - a² + 9 ≠ 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
- a² - a + 18 ≠ 0 --- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1". Com isso, ficaremos assim:

a² + a - 18 ≠ 0

Agora note: quem faz qualquer equação ser igual a zero são suas raízes.
Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

a' = (-1-√73) / 2
a'' = (-1+√73) / 2

Ou seja, para que o sistema seja SPD (sistema possível e determinado), então "a" deverá ser DIFERENTE das duas raízes acima, ou seja, deveremos ter que:

a ≠ (-1 - √73) / 2
e
a ≠ (-1 + √73) / 2

Agora note mais isto: se "a" pudesse ser igual às raízes, então o sistema ou seria impossível (SI) ou seria possível e indeterminado (SPI).
Para isso, você faria o seguinte: substitui, primeiro, os coeficientes de "x" pelos termos independentes (1.. 3;  e 2) e encontra o determinante da mesma forma que encontramos o determinante dos coeficientes das incógnitas acima.
Faz a mesma coisa para os coeficientes de "y" e a mesma coisa para os coeficientes de "z".
Se quiser que o sistema seja impossível (SI), então basta admitir que "a" seja igual às raízes que acabamos de encontrar, e apenas um dos determinantes (de "x", de "y" ou de "z") seja diferente de zero.
Se quiser que o sistema seja possível e indeterminado (SPI), então basta admitir que "a" seja igual às raízes que acabamos de encontrar e TODOS os outros determinantes (de "x", de "y" e de "z") sejam também iguais a zero.

É isso aí.
Deu pra entender be

OK?
Adjemir.