Question

discuta o sistema ( x - 2y + 3z = 0 )
(3x + y + z = b )
(2x + 3y + az = 2 )
em função de a e b

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Wesley, que a resolução é idêntica à questão que já resolvemos pra você em uma outra mensagem. Só que aqui temos um sistema de 3 equações e 5 incógnitas, que são: "a", "b", "x", y" e "z".

i) Pede-se para discutir o sistema, em função de "a" e "b". O sistema é este:

{x - 2y + 3z = 0      . (I)
{3x + y + z = b      . (II)
{2x + 3y + az = 2   . (III)

ii) Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Fazendo isso, teremos:

x - 2y + 3z = 0 --- [esta é a expressão (I) normal]
6x+2y+2z = 2b --- [esta é a expressão (II) multiplicada por 2]
---------------------------- somando membro a membro, teremos:
7x+0 + 5z = 2b --- ou apenas:
7x + 5z = 2b       . (IV).

iii) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por (-3) e, em seguida, somaremos com a expressão (III). Assim, fazendo isso, teremos:

-9x - 3y - 3z = -3b --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-3"]
2x + 3y + az = 2 ----- [esta é a expressão (III) normal]
---------------------------------- somando membro a membro, teremos:
-7x + 0 + az - 3z = 2-3b  --- ou apenas:
-7x + az - 3z = 2 - 3b        . (V)

iv) Veja que, agora, ficamos com outro sistema, formado pelas expressões (IV) e (V) e que são estas:

{7x + 5z = 2b                   . (IV)
{-7x+az-3z = 2-3b            . (V)

Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (IV) e (V). Fazendo isso, teremos:

7x + 5z = 2b  --------- [esta é a expressão (IV) normal]
-7x+az-3z = 2-3b --- [esta é a expressão (V) normal]
----------------------------- somando membro a membro, teremos:
0+5z+az-3z = 2b + 2-3b --- ou apenas:
5z-3z+az = 2b - 3b + 2 ---- ou apenas:
2z + az = 2 - b ---- vamos colocar "z" em evidência, ficando:
(2+a)z = 2 - b         . (VI)
 
v) Agora veja que podemos fazer aquele "joguete" que já fizemos em uma outra questão sua. No 1º membro, colocaremos o coeficiente do termo independente como "0"; e, no 2º membro, colocaremos o coeficiente de "z" como "0". Com isso, ficaremos assim:

(2+a)z + 0 = 0z + 2-b ---- agora faremos a comparação dos coeficientes do 1º membro com os coeficientes do 2º membro, e teremos isto:

2 + a = 0 -----> a = - 2 <--- este é o valor de "a".
e
0 = 2-b ---> 2-b = 0 ---> -b = -2 ---> b = 2 <--- Este é o valor de "b".

vi) Agora vamos para o sistema original e, nele, vamos substituir "a" por "-2" e "b" por "2". O sistema original é este:

{x - 2y + 3z = 0      . (I)
{3x + y + z = b      . (II)
{2x + 3y + az = 2   . (III)

Fazendo as substituições propostas acima (ou seja: "a" por "-2" e "b" por "2"), ficaremos assim:

{x - 2y + 3z = 0        . (I)
{3x + y + z = 2         . (II)
{2x + 3y - 2z = 2       . (III)

vii) Agora vamos trabalhar com o novo sistema, mas agora já com os coeficientes "a" e "b" com os seus respectivos valores numéricos, ou seja, a = -2 e b = 2.

vii.1) Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (I). Assim, teremos:

x - 2y + 3z = 0 --- [esta é a expressão (I) normal]
6x+2y + 2z = 4 -- [esta é a expressão (II) multiplicada por "2"]
----------------------------- somando membro a membro, teremos:
7x+0 + 5z = 4 --- ou apenas:
7x + 5z = 4       . (VI)

vii.2) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-3" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (III). Assim, fazendo isso, teremos:

-9x - 3y - 3z = -6 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-3"]
2x + 3y - 2z = 2 ---- [esta é a expressão (III) normal]
--------------------------------- somando membro a membro, teremos:
-7x + 0 - 5z = - 4 ---- ou apenas:
- 7x - 5z = - 4       . (VII)

viii) Agora faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (VI) e (VII). Assim, fazendo isso, teremos:

7x + 5z = 4 ---- [esta é a expressão (VI) normal]
-7x - 5z = -4 --- [esta é a expressão (VII) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos;
0 + 0 = 0 --- ou apenas:
0 = 0

Veja: quando no desenvolvimento de um sistema chegamos a uma igualdade ao que vimos aí em cima (0 = 0), então já poderemos afirmar que o sistema da sua questão será SPI (Sistema Possível e Indeterminado) e, assim, ele admite infinitas soluções para a = -2 e b = 2.
Assim, resumindo, teremos que o sistema da sua questão será:

SPI (Sistema Possível e Indeterminado), para a = -2 e b = 2. Em outras palavras, sendo o sistema da forma SPI então ele admitirá infinitas soluções para a = -2 e b = 2.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.