Question

Discuta o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro k.

a)
kx + ky + kz = 1
kx + y + 2z = -1
kx = k

b)
kx + y + z = 1
x + ky + z = k
x + y + kz = -2

Apresentar os devidos calculos.

Answer 1

Discutir o sistema linear


a)

Para o sistema ser SPD (sistema possível e determinado)

$\mathsf{\begin{vmatrix} \ k & k & k\ \\ \ k & 1 & 2\ \\ \ k & 0 & 0\ \end{vmatrix}}\neq 0\\\\\\ \mathsf{D=2k^{2}-k^{2}}\\\\ \mathsf{D=k^{2}}\\\\ \mathsf{k^{2}\neq 0}\\\\ \mathsf{k\neq 0}$


Se tivermos k = 0,vamos ter SI (sistema impossível), veja a primeira linha

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{0x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{0x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-1}\\ \mathsf{0x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0} \end{array} \right.$


Para ficar mais claro, temos uma indeterminação na primeira linha

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{0\ }&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{y\ }&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{2z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-1}\\ \mathsf{0\ }&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0} \end{array} \right.$

__________


b)


Para termos SPD (sistema possível e determinado) temos que ter

$\mathsf{\begin{vmatrix} \ k & 1 & 1\ \\ \ 1 & k & 1\ \\ \ 1 & 1 & k\ \end{vmatrix}}\neq 0\\\\\\ \mathsf{D=k^{3}-3k+2}\\\\ \mathsf{k\neq 1}\\\\ \mathsf{k\neq -2}$


Se tivermos k = 1

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-2} \end{array} \right.$


Por escalonamento, fazendo L3 - L2 vamos perceber que o sistema é SI (sistema impossível)

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{0}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-3} \end{array} \right.$

=====

Já se tivermos k = -2

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{-2x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{x}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-2}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-2} \end{array} \right.$


Por escalonamento, vamos começar por L2 - L3

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{-2x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{\ }&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{3z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}\\ \mathsf{x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-2} \end{array} \right.$


2L3 + L1


$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{-2x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{\ }&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{3z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}\\ \mathsf{\ }&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{3y}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-3} \end{array} \right.$


L3 + L2


$\left\{\! \begin{array}{rcrcrcrc} \mathsf{-2x}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{1}\\ \mathsf{\ }&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{3y}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{3z}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}\\ \mathsf{\ }&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{\ }&\!\!\!\!\!\!&\mathsf{0}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-3} \end{array} \right.$


Para k = 1 o sistema é impossível também


Bons estudos no Brainly! :)