Question

Disciplina 3: Matemática Financeira Com o objetivo de realizar melhorias na empresa, os gestores decidiram realizar um financiamento no valor de R$ 140.000,00. Para isso, foi realizada uma pesquisa em algumas instituições financeiras para saber a taxa de juros cobrada, conforme a tabela: Banco A Banco B Banco C Taxa de juros 1,9% a.a. 2,5% a.a. 3,2% a.a. Período do financiamento 192 meses 144 meses 204 meses As instituições financeiras oferecem modalidades de crédito que podem atender a financiamentos, sendo que as taxas de juros podem variar de acordo com o prazo que for efetuada a contratação da operação. Assim, de acordo com as taxas da tabela acima, você deve analisar cada uma das opções apresentadas, Banco A, B e C, com o intuito de apresentar aos gestores a que considera mais vantajosa para a empresa. Você deve determinar: a) O valor da prestação de cada uma das opções. b) O valor futuro (montante) de cada uma das opções. c) Apresentar aos gestores o banco que considera mais vantajoso a empresa realizar o financiamento, justificando essa escolha.

Answer 1

Temos que 192 meses = 16 anos, 144 meses = 12 anos e 204 meses = 17 anos

Prestações dos Bancos

A: P $\frac{(1,019)^{16} - 1 }{0,019.(1,019)^{16} }$ 140000 => P$\frac{(1,3519 - 1)}{0,0257}$ = 140000 => P.$\frac{0,3519}{0,0257}$ = 140000 => P.13,69 = 140000 => P = $\frac{140000}{13,69}$ => P = 10226,44

B: P.$\frac{(1,025)^{12} - 1 }{0,025.(1,025)^{12} }$ = 140000 => P.$\frac{0,3449}{0,0336}$ = 140000 => P.10,27 = 140000 => P = $\frac{140000}{10,27}$ => P = 13631,94

C: P.$\frac{(1,032)^{17} - 1 }{0,032.(1,032)^{17} }$ = 140000 => P.$\frac{0,7083}{0,0547}$ = 140000 => P.12,95 = 140000 => P = $\frac{140000}{12,95}$ => P = 10810,81

Montantes nos bancos

A: M = 140000.(1,019)¹⁶ = 140000.1,3514 = 189197,32

B: M = 140000.(1,025)¹² = 140000.1,3449 = 188284,44

C: M = 140000.(1,032)¹⁷ = 140000.1,7083 = 239156,88

Vemos que, apesar dos bancos A e C apresentarem um plano com menores prestações que a do banco B, o entanto é o banco B que apresenta um menor montante. Logo, o banco B oferece melhor vantagem de financiamento

Answer 2

A melhor opção é o Banco A.

Esta questão está relacionada com amortização mensal. Nesse caso, o financiamento é feito sob juros compostos. Então, utilizamos a seguinte equação para relacionar o valor presente e a prestação:

$PMT=PV\times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$

Onde:

PV: valor presente;

PMT: prestação mensal;

i: taxa de juros;

n: número de períodos.

Devemos nos atentar que a taxa de juros e o período devem estar sob mesma unidade de tempo. Por isso, vamos calcular a taxa mensal equivalente a taxa anual de cada situação:

$\textbf{Banco A: }i_m=(1+0,019)^\frac{1}{12}-1=0,00157 \\ \\ \textbf{Banco B: }i_m=(1+0,025)^\frac{1}{12}-1=0,00206 \\ \\ \textbf{Banco C: }i_m=(1+0,032)^\frac{1}{12}-1=0,00263$

Em cada caso, obtemos o seguinte valor de prestação mensal:

$\textbf{Banco A: }PMT=140.000,00\times \frac{0,00157(1+0,00157)^{192}}{(1+0,00157)^{192}-1}=845,15 \\ \\ \textbf{Banco B: }PMT=140.000,00\times \frac{0,00206(1+0,00206)^{144}}{(1+0,00206)^{144}-1}=1.124,53 \\ \\ \textbf{Banco C: }PMT=140.000,00\times \frac{0,00263(1+0,00263)^{204}}{(1+0,00263)^{204}-1}=887,64$

O valor futuro, em cada um dos casos, será:

$\textbf{Banco A: }M=140.000,00(1+0,019)^{16}=189.197,32 \\ \\ \textbf{Banco B: }M=140.000,00(1+0,025)^{12}=188.284,44 \\ \\ \textbf{Banco C: }M=140.000,00(1+0,032)^{17}=239.156,89$

Por fim, podemos concluir que a melhor opção de investimento é o Banco A. Apesar de o Banco apresentar o montante final um pouco menor, as parcelas mensais são quase 50% maiores e o investimento deve ser pago num período 25% menor.

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