Question

Dilermando é arquiteto e projeta a casa
de Genetilídes. Ela deseja que se tenha uma fonte
de água no quintal frente à varanda onde espera
chamar suas amigas para tomarem chá da tarde
depois que a pandemia passar. Ao fazer o projeto
numa região plana, Dilermando utilizou um
sistema cartesiano de ordenadas cujas distâncias
entre os pontos são dadas em metros e sugeriu
ainda que a fonte tivesse formato de coroa circular
concêntricas, de acordo com a figura.

Sabendo que a equação da circunferência externa
é x
2 + y
2 − 10,8x + 6,4y + 38,59 = 0 e que a
área reservada para ficar a água é de 1,35m2
,
dispensando o comprimento das paredes da fonte,
qual a equação que representa a circunferência
interna dessa fonte? (Adoteπ = 3)

Answer 1

Utilizando definições de equação reduzida de circunferência e metodo de completar quadrados, temos que a equação reduzida da circunferência interna é dada por: $(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação da circunferência externa:

$x^2+y^2-10.8x+6.4y+38.59=0$

Porém sabemos que é melhor trabalhar com equação de circunferências da forma reduzida, que é dada por:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

Onde $(x_0,y_0)$ são as coordenadas do centro da circunferência e  $R$ é o raio da mesma.

Para escrevermos a nossa equação neste formato, precisamos utilizar a tecnica chamada de Completar Quadrados, que se resumo em isolar as partes de x das de y e tentar reescreve-las na forma de quadrados perfeitos, então vamos fazer isto:

$x^2+y^2-10.8x+6.4y+38.59=0$

$(x^2-10.8x)+(y^2+6.4y)+38.59=0$

Agora que temos as duas isoladas, vamos ver como se da uma equação de quadrado perfeito:

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

Assim temos que quando abrimos uma equação de quadrado perfeito de constante 'a', ela possui quase o mesmo formato que os nossos termos isolados, onde no caso de x, o $2ax$ seria representado por  $-10.8x$, ou seja, neste caso:

$2a=-10.8$

$a=-5.4$

Ou seja, o quadrado perfeito do termo termo em x é:

$(x-5.4)^2$

Agora vamos abrir este termo multiplicando para ver o resultado:

$(x-5.4)^2=x^2-10.8x+29.16$

Note que temos este termo 29.16, que não tinhamos antes, então para temos que eliminar ele dusbtraindo pelo lado de fora do nosso isolamento:

$(x^2-10.8x)+(y^2+6.4y)+38.59=0$

$(x-5.4)^2-29.16+(y^2+6.4y)+38.59=0$

Desta forma, quando o quadrado for reaberto, o -29.16 vai eliminar o +29.16 que vai surgir e ele volta a ser como era antes, logo, nada mudou.

Agora vamos fazer o mesmo processo para o termo isolado em y:

$(y+a)^2=y^2+2ay+a^2$

$y^2+6.4y$

Assim:

$2ay=6.4y$

$a=3.2$

Completando quadrado, ficamos com:

$(y+3.2)^2=y^2+6.4y+10.24$

Para eliminarmos este 10.24 que surge, temos novamente que subtrai-lo do lado de fora do isolamento:

$(x-5.4)^2-29.16+(y^2+6.4y)+38.59=0$

$(x-5.4)^2-29.16+(y+3.2)^2-10.24+38.59=0$

Agora nossos termos já estão na forma de quadrados, basta somar os números que ficaram de fora:

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2+38.59-29.16-10.24=0$

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2-0.81=0$

Isolando o termo numerico:

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=0.81$

E lembre-se que na equação reduzida da circunferência, o lado direito é o raio ao quadrado, então basta tirarmos a raiz deste valor e colocarmos o mesmo quadrado:

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=0.81$

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.9)^2$

E finalmente temos a nossa equação reduzida, agora com isso sabemos que o centro da nossa circunfêrencia é o ponto (5.4 , -3.2) e o raio da nossa circunferência é de 0.9 metros.

Sabendo o raio de uma das circunferências podemos descobrir a outra, pois temos a formula de coroa circular:

$A_c=\pi.R^2-\pi.r^2$

Onde 'R' é o raio maior da circunferencia de fora, que já sabemos que é 0.9 m, 'r' é o raio da circunferência de dentro e 'A' é a área que sabemos ser 1.35 m². Assim substituindo pi por 3 e os valores que conhecemos:

$A_c=\pi.R^2-\pi.r^2$

$1.35=3.(0.9)^2-3.r^2$

$1.35=3.(0.81)-3.r^2$

$1.35=2.43-3.r^2$

$1.35-2.43=-3.r^2$

$-1.08=-3.r^2$

$r^2=0.36$

$r=\sqrt{0.36}$

$r=0.6$

Assim sabemos que o raio da circunferência de dentro vale 0.6 m, sabemos também que o centro desta é o mesmo que a externa, pois a duas são concentricas, logo, o centro é em (5.4 , -3.2).

Tendo este centro e o novo valor do raio, podemos substituir na equação da circunferência e acharmos esta:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

$(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2$

E assim temos a equação reduzida da circunferência interna $(x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2$.

OBS: Este formato já é o resultado, pois a questão não diz que quer o resultado explicitamento aberto, ou seja, retirando os valores de dentro dos parenteses, então esta equação acima é valida. Caso queira a equação aberta é só aplicar multiplicação distributiva nos parenteses, porém não recomendo, pois a forma reduzida é muito mais elegante e útil matematicamente.