Question

Diga se a seguinte integral imprópria converge. Em caso afirmativo, calcule-a:

Answer 1

O valor da integral é:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \lim_{a \to 4}\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{4-x}}\, dx = 4\end{gathered} }$

Como a integral é imprópria, temos que fazer o limite do extremo de integração, ou seja, se A é área sobre esse gráfico, temos que:

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \lim_{a \to 4}\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{4-x}}\, dx\end{gathered} }$

Sendo assim, podemos calcular essa integral (pois ela converge), lembrando que uma integral imprópria acontece quando a função não é limitada no intervalo [a, b] de integração.

Então vamos calcular a integral de fato, vamos começar fazendo a substituição:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = 4-x \Rightarrow du = -dx\end{gathered}$

E portanto a integral passa a ser:

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \lim_{a \to 0}\int_{4}^{a} -\frac{1}{\sqrt{u}}\, du\end{gathered} }$

Que pode ser escrita como a integral de um monômio:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \lim_{a \to 0}\int_{a}^{4} u^{-\frac{1}{2}}\, du\end{gathered} }$

E a integral de um monômio é imediata, dada pela regra de integração:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ n \ne -1\end{gathered} }$

Logo nossa integral é:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \lim_{a \to 0} \Bigg[\,2\sqrt{u}\Bigg]_{a}^{4}\end{gathered}$

Veja que o limite existe, logo ela converge.

Podemos ainda retormar a varíavel original ou fazer as contas com u, pois eu já ajustei os intervalos, mas vou retornar mesmo assim para mostrar como ficaria na expressão original:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \lim_{a \to 4} \Bigg[\,2\sqrt{4-x}\Bigg]_{0}^{a}\end{gathered}$

Expandindo a subtração temos:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \lim_{a \to 4} \Bigg[\,2\sqrt{4-x}\Bigg]_{0}^{a}\\ \\A = 4-\lim_{a \to 4} \,2\sqrt{4-a}\\ \\A = 4-0\\ \\A = 4\end{gathered}$

Portanto, o valor da integral imprópria é:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \lim_{a \to 4}\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{4-x}}\, dx = 4\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja em anexo a área calculada.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/10498250

brainly.com.br/tarefa/13066000

Answer 2

• A integral dada converge pois dá 4  que é um valor finito.

Em uma integral imprópria, devemos sempre substituir a integral por um limite tendendo a uma incógnita que iremos escolher. Temos apenas três casos de substituição. Sendo eles:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int_{-\infty}^B f(x)dx \Leftrightarrow \lim_{A\to -\infty} \left( \int _A^B f(x)dx\right) \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int_{A}^{\infty} f(x)dx \Leftrightarrow \lim_{B\to \infty}\left( \int _A^B f(x)dx\right) \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \lim_{A \to -\infty} \left(\int ^0_Af(x)dx\right) + \lim_{B \to \infty}\left(\int _0^B f(x)dx \right)\end{aligned}$

• Logo, sua integral imprópria passa a ser:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{4-x} }\Leftrightarrow \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \end{aligned} }$

Legal, agora devemos simplesmente resolver aquela integral, para isso iremos utilizar o método da substituição simples. Chamando o √4-x de u temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{u} }\ -du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 -\frac{1}{\sqrt{u} }\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 -\frac{1}{u^{\frac{1}{2}} }\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 u^{-\frac{1}{2}}\ du\right)\end{aligned} }$

• Prontooo, caimos daquele caso imediato de integração, que é a integral de um monômio. Dada da seguinte forma:

$\therefore \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\underline{\boxed{\boxed{ \int x^n dx \Leftrightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1} + k}}} \end{aligned} }$

$\star$ Continuando ...

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow- \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 u^{-\frac{1}{2}}\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2}+1}\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow- \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{u^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2}}\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{\sqrt{u}}{\frac{1}{2}}\ du\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 2\sqrt{u}\ du\right)\end{aligned} }$

• Substituindo √u por √4-x e aplicando o Teorema fundamental do cálculo, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\lim_{B \to 4}\left(\left. 2\sqrt{4-x}\ \right|^B_0\right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -\underbrace{\lim_{B \to 4}\left( 2\sqrt{4-B} - 2\sqrt{4-0}\right)}_{=-4} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{B \to 4}\left( \int ^B_0 \frac{1}{\sqrt{4-x} }\ dx\right) \Leftrightarrow -(-4 )\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{4-x} }\Leftrightarrow \boxed{\noxed{\green{ 4}}} }\end{aligned} }$

Diverge quando não da um valor finito e converge quando da um valor finito. Portanto, sua integral imprópria converge.

Veja mais sobre:

Integrais impróprias.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/14284372