Question

Dificuldades nessa questão, alguém para me ajudar?

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\sf y {}^{2} (y{}^{2} - 4) = x {}^{2} \left(x {}^{2} - \frac{5y}{x {}^{2} } \right)$

Vamos começar simplificando essa expressão, ou seja, vamos multiplicar o que for possível:

$\sf y {}^{2} (y{}^{2} - 4) = x {}^{2} \left(x {}^{2} - \frac{5y}{x {}^{2} } \right) \\ \\ \sf y {}^{2} .y {}^{2} - y {}^{2} .4 = x {}^{2} .x {}^{2} - \frac{5x {}^{2} y}{ {x}^{2} } \\ \\ \sf y {}^{4} - 4y {}^{2} = x {}^{4} - 5y$

Agora vamos derivar de ambos os lados essa equação, lembrando que usaremos a derivação implícita, isto é, sempre que derivarmos "y", devemos multiplicar pela sua derivada:

$\sf\frac{d}{dx} (y {}^{4} - 4y {}^{2} ) = \frac{d}{dx} (x {}^{4} - 5y) \\ \\ \sf 4y {}^{3} . \frac{dy}{dx} - 8y. \frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} - 5. \frac{dy}{dx} \\ \\ \sf 4y {}^{3} . \frac{dy}{dx} - 8y. \frac{dy}{dx} + 5. \frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} . (4y {}^{3} - 8y + 5) = 4x {}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\frac{dy}{dx} = \frac{4x {}^{3} }{4y {}^{3} - 8y + 5 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos então a derivada dessa função, ou seja, o coeficiente angular da mesma. Sabemos do ponto P(1,-1), ou seja, podemos substituir esses valores nesse coeficiente angular e encontrar de fato um valor numérico:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{4.1 {}^{3} }{4. (- 1) {}^{3} - 8. ( - 1) + 5} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{4}{ - 4 + 8 + 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\frac{dy}{dx} = \frac{4}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora para encontrar a reta tangente basta substituir os dados na equação fundamental da reta:

$\sf y-y_0 = m.(x-x_0) \\ \sf y - 1 = \frac{4}{ 9} (x - 1) \: \: \: \: \: \: \\ \sf y - ( - 1 )= \frac{4}{9} x - \frac{4}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y + 1= \frac{4x}{9} - \frac{4}{9} \: \\ \sf y = \frac{4x}{9} - \frac{4}{9} - 1 \\ \sf y = \frac{4x}{9} - \frac{13}{9} \: \: \: \: \: \: \\ \sf 9y = 4x - 13 \: \: \: \: \: \\ \sf4x - 9y - 13 = 0$

Essa é a reta tangente. Para descobrimos a reta normal, devemos lembrar que a mesma significa a reta perpendicular a reta tangente, ou seja, o coeficiente angular dela deve ser o inverso do oposto do coeficiente angular da reta tangente.

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{4}{9} \longrightarrow \frac{ - 1}{ \frac{4}{9} } = - \frac{9}{4} \to inverso \: do \: oposto$

Substituindo esse coeficiente na equação da reta:

$\sf y-y_0 = m.(x-x_0) \\ \sf y - ( - 1) = - \frac{9}{4} .(x - 1) \\ \sf y + 1 = - \frac{9x}{4} + \frac{9}{4} \\ \sf y = - \frac{9x}{4} + \frac{9}{4} - 1 \\ \sf y = - \frac{9x}{4} + \frac{5}{4} \: \: \: \: \: \: \\ \sf4y = - 9x + 5 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 9x + 4y - 5 = 0$

Espero ter ajudado