Question

[DIFÍCIL]

Se (a1 ,a2 ,...,an ) é uma progressão geométrica de números inteiros positivos tal que:

i) a razão é um número inteiro positivo;
ii) a soma dos quatro primeiros termos vale 30;
iii) a soma dos quadrados dos quatro primeiros termos vale 340.
Seja S a soma dos algarismos do quarto termo dessa progressão. Então, o valor de S2
:
a) é 16.
b) é 25.
c) é 36.
d) é 49.
e) não pode ser calculado, pois não existe P.G. cumprindo tais propriedades.

Answer 1

 Bom! inicialmente, meus parabéns pela questão. Realmente, ela é boa!!
 
 Fiz assim:
 
 $\mathsf{Seja \ \underline{x} \ o \ primeiro \ termo \ e \ \underline{q} \ a \ raz\~ao. \ Assim, \ temos \ que:\  a_2 = qx, \ a_3 = q^2x \ e \ a_4 = q^3x.}$
 
  Ora, das condições ii) e iii),

$\\ \begin{cases} \mathsf{x + qx + q^2x + q^3x = 30} \\ \mathsf{x^2 + q^2x^2 + q^4x^2 + q^6x^2 = 340} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x \cdot (1 + q + q^2 + q^3) = 30 \qquad \qquad elevando \ ao \ quadrado} \\ \mathsf{x^2 \cdot (1 + q^2 + q^4 + q^6) = 340} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x^2 \cdot (1 + q + q^2 + q^3)^2 = 900} \\ \mathsf{x^2 \cdot (1 + q^2 + q^4 + q^6) = 340} \end{cases}$
 
 Igualando o "x" ao quadrado,

$\\ \mathsf{\frac{900}{(1 + q + q^2 + q^3)^2} = \frac{340}{(1 + q^2 + q^4 + q^6)}} \\\\\\ \mathsf{\frac{45}{[(1 + q) + q^2(1 + q)]^2} = \frac{17}{[(1 + q^2) + q^4(1 + q^2)]}} \\\\\\ \mathsf{\frac{45}{[(1 + q)(1 + q^2)]^2} = \frac{17}{(1 + q^2)(1 + q^4)}}$

$\\ \mathsf{45 \cdot (1 + q^2) \cdot (1 + q^4) = 17 \cdot (1 + q)^2 \cdot (1 + q^2)^2, \qquad \qquad (1 + q^2) \neq 0} \\\\ \mathsf{3^2 \cdot 5 \cdot (1 + q^4) = 17 \cdot (1 + q)^2 \cdot (1 + q^2)} \\\\ \mathsf{\underbrace{3^2}_{I} \cdot \underbrace{5}_{II} \cdot \underbrace{\mathsf{(1 + q^4)}}_{III} = \underbrace{17}_{III} \cdot \underbrace{\mathsf{(1 + q)^2}}_{I} \cdot \underbrace{\mathsf{(1 + q^2)}}_{II}}$
 
 De I, II ou III; farei com III.

$\\ \mathsf{(1 + q^4) = 17} \\\\ \mathsf{q^4 = 17 - 1} \\\\ \mathsf{q^4 = 16} \\\\ \mathsf{q = \sqrt[4]{16}} \\\\ \boxed{\mathsf{q = \pm 2}}$
 
 Todavia, de acordo com a condição i) do enunciado, $\mathsf{q \in \mathbb{Z}_{+}}$. Portanto, temos que $\boxed{\mathsf{q = + 2}}$.
 
 Para encontrar "x", basta substituir...

$\\ \mathsf{x \cdot (1 + q + q^2 + q^3) = 30} \\\\ \mathsf{x \cdot (1 + 2 + 4 + 8) = 30} \\\\ \mathsf{15x = 30} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2}}$
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{a_4 = q^3 \cdot x} \\\\ \mathsf{a_4 = 2^3 \cdot 2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a_4 = 16}}}$
 
 Por fim, tiramos que a soma dos algarismos vale 7. Então, $\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S^2 = 49}}}}$.

 Espero ter ajudado!!