Question

Devido a um inovador programa rural, a mortalidade infantil no Senegal está sendo reduzida a uma taxa de 10% ano ano. Quanto tempo levará para que a mortalidade infantil seja reduzida a 50%, sabendo que essa situação pode ser modelada por uma função exponencial do tipo y = y°.b^t ?

Answer 1

Utilizando formulações de função exponencial e logaritmos, temos que eles só vão alcançar a redução da metade da mortalidade com mais de 5 anos, ou seja, 6 anos.

Explicação passo-a-passo:

Quando se reduz 10% em relação ao valor anterior, na verdade está sendo aplicado 90% do valor anterior completo, e 90% em forma decimal é 0,9. Assim vamos escrever uma funçã oexponencial da seguinte forma:

$N=A.(0,9)^t$

Onde N é a mortalidade do Novo ano, A é a mortalidade Anterior e t é a quantidade de anos passados, pois a cada ano se aplica 90% novamente em relação ao valor anterior.

Assim queremos saber quando esta taxa vai ser igual a 50% do valor incial, ou seja 0,5A:

$0,5A=A.(0,9)^t$

$0,5=(0,9)^t$

Aplicando logaritmo na base 10 nos dois lados:

$log(0,5)=log((0,9)^t)$

Por regras de logaritmos, expoentes viram multiplicadores:

$log(0,5)=t.log(0,9)$

E podemos reescrever estes números decimais como frações:

$log(\frac{5}{10})=t.log(\frac{9}{10})$

E divisões em logaritmos viram subtrações:

$log(5)-log(10)=t(log(9)-log(10))$

E log de 10 é 1:

$log(5)-1=t(log(9)-1)$

$t=\frac{log(5)-1}{log(9)-1}$

$t=\frac{log(5)-1}{log(3^2)-1}$

$t=\frac{log(5)-1}{2log(3)-1}$

Agora basta procurar na tabela, ou calculadora o valor de log de 5 e de 3:

$t=\frac{log(5)-1}{2log(3)-1}$

$t=\frac{0,69-1}{2.0,47-1}$

$t=\frac{-0,31}{0,94-1}$

$t=\frac{-0,31}{-0,06}$

$t=5,1666...$

Ou seja, eles só vão alcançar a redução da metade da mortalidade com mais de 5 anos, ou seja, 6 anos.