Question

Detrmine equaçoes simetricas da reta r que passa por A(3,0-5) e tem a direção do vetor v= (2,2,-1).

alguem pode me ajudar?

Answer 1

A equação vetorial de uma reta é dada pela fórmula:
$A = (x_1,y_1,z_1) + t(v)$
Dado que:
A é a equação vetorial da reta e é do tipo(x,y,z).
$(x_1,y_1,z_1)$ São as coordenadas de um ponto que está contido na reta.
t é uma variável qualquer.
v é vetor diretor da reta
Como r tem direção de v, r é paralela a v, ou seja, v é diretor de r.

Baseado nisto, vamos substituir os valores dados na questão na equação:
$A=(3,0,-5)+t(2,2,-1)\\A=(3,0,-5)+(2t,2t,-t)\\A=(3+2t,2t,-5-t)$

Logo, sabemos que:
$x = 3+2t\\y=2t\\z=-5-t$

Para transformarmos em uma equação simétrica, basta colocarmos o t em evidência e depois igualar os dados obtidos:

Parte 1:
$x = 3+2t\\2t=x-3\\t= \frac{x-3}{2}$

Parte 2:
$y=2t\\t= \frac{y}{2}$

Parte 3:
$z=-5-t\\-t=z+5\\t=-z-5$

Sabendo que t=t=t(meio redundante né, mas tudo bem), podemos igualar as equações obtidas, tendo assim:
$\frac{x-3}{2}=\frac{y}{2}= \frac{-z-5}{1}$
Que são as equações simétricas

OBS: Tente ler e entender o que foi passado e refazer a questão sem olhar aqui. Faça mais exercícios parecidos para ficar craque e arrebentar na prova!

Espero que tenha lhe ajudado, qualquer dúvida, comente.
Peço por favor que qualifique minha resposta se lhe ajudei
Bons estudos!

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação simétrica da reta procurada é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{-1}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                   $\Large\begin{cases} P = (3, 0, -5)\\\vec{v} = (2, 2, -1)\end{cases}$

Para montar a equação simétrica da reta "r"  a partir de um ponto e o vetor diretor, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{x - x_{A}}{x_{\vec{v}}} = \frac{y - y_{A}}{y_{\vec{v}}} = \frac{z - z_{A}}{z_{\vec{v}}}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "I", temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - (-5)}{-1}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{-1}\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação simétrica da reta é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{-1}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$