Determme a area da região limitada pelas curvas y = x e y = √ 2x
Soluções para a tarefa
Resposta:
Resposta:
A = \dfrac{2}{3}~u.a.A=32 u.a.
Explicação passo-a-passo:
Olá
Temos as funções f(x) = xf(x)=x e g(x) = \sqrt{2x}g(x)=2x
Para o cálculo da área da curva entre duas funções, devemos usar a integral.
Devemos encontrar os limites da função, isto é, o intervalo em que a curva se encontra no gráfico.
Igualando as duas funções, encontraremos tais limites:
\begin{gathered}f(x) = g(x)\\\\\\ x = \sqrt{2x}\end{gathered}f(x)=g(x)x=2x
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos
\begin{gathered}x^2 = (\sqrt{2x})^2\\\\\\x^2 = 2x\end{gathered}x2=(2x)2x2=2x
Passe todos os elementos que apresentem variáveis para o lado esquerdo da equação, alterando seus sinais
x^2 - 2x = 0x2−2x=0
Existem diversas formas de resolver esta equação quadrática incompleta
Como este é um caso de ax^2 + bx = 0ax2+bx=0 , podemos fatorar o xx .
x(x - 2) = 0x(x−2)=0
Para que um produto de fatores seja igual a zero, pelo menos um ou ambos os fatores devem ser iguais a zero, logo
\begin{gathered}\begin{cases}x = 0\\x -2= 0\end{cases}\end{gathered}{x=0x−2=0
Em tal caso, temos os valores x = 0x=0 e x = 2x=2
Estes são nossos limites de integração
Sabemos também pelo gráfico que
\begin{gathered}0\leq x\leq 2\\x\leq y\leq \sqrt{2x}\end{gathered}0≤x≤2x≤y≤2x
Agora, calculemos a área da curva entre as funções na integral
\displaystyle{A = \int_0^2\int\limits_x^\sqrt{2x}}dydx
No caso da integral em y, temos um caso \displaystyle{\int_b^a dy = a - b}∫bady=a−b
\displaystyle{A = \int_0^2 \sqrt{2x} - x\, dx
Quando calculamos a integral de uma soma de funções, temos
\displaystyle{\int_b^a f(x) \pm g(x)\,dx = \int_b^a f(x)\, dx \pm \int_b^a g(x)\, dx = F(x)\bigg|_b^a \pm G(x)\bigg|_b^a = F(a) - F(b) \pm G(a) - G(b)}∫baf(x)±g(x)dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx=F(x)∣∣∣∣∣ba±G(x)∣∣∣∣∣ba=F(a)−F(b)±G(a)−G(b)
Em tal caso,
\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx - \int_0^2 x\, dx}∫022xdx−∫02xdx
Calculando as integrais, temos
1ª integral:
\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2}\sqrt{x}\,dx = \sqrt{2}\cdot \int_0^2\sqrt{x}\,dx
Para calcular tal integral, transformamos a raiz em um expoente de x
\sqrt{2}\cdot\displaystyle{\int_0^2 x^{\bigg{\frac{1}{2}}}\,dx
Então, usando a fórmula \displaystyle{\int x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}∫xndx=n+1xn+1+C , lembrando que quando a integral é definida, constante de integração é igual a zero.
\begin{gathered}\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \int_0^2\sqrt{x}\,dx}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\bigg{\frac{1}{2} +1}}}{\left(\dfrac{1}{2}+1\right)}}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\bigg{\frac{3}{2}}}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^3}}\cdot \dfrac{2}{3} \\\\\\\ \sqrt{2}\cdot x\sqrt{x}\cdot\dfrac{2}{3}\\\\\\\ \sqrt{2} \cdot\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}\bigg|_0^2\end{gathered}
Agora, substitua os limites de integração
\sqrt{2}\cdot\dfrac{2\cdot 2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}\cdot\dfrac{2\cdot 0\sqrt{0}}{3}2⋅32⋅22−2⋅32