Question

Determine z tal que (1+i). z-3-i = -2+3i.

Answer 1

Resposta:

(1+i). z-3-i = -2+3i

z(1+i) = -2+3i+3+i

z(1+i) = +3 -2 +3i +i

z(1+i) = 1 + 4i

z = 1+4i / (1+i)

z = (1 + 4i).(1-i) / (1+i).(1-i)

z = 1 - i + 4i - 4i^2 / 1^2 + i^2

z = 5 + 3i / 2

Explicação passo-a-passo:

(1+i).z-3-i = -2+3i

a seguir, trocarei o z de lado, vou colocar do lado direito, mas ele vai continuar multiplicando o (1+i).

z(1+i) = -2+3i+3+i -----> passei o -3 e o -i para o lado direito da equação, de forma que eles são positivos agora.

z(1+i) = +3 -2 +3i +i -----> troquei os números de lugar para facilitar a visualização, de forma que obteremos:

z(1+i) = 1 + 4i

o (1+i) está multiplicando o Z, então ele vai passar para baixo do 1 + 4i dividindo, dessa forma:

z = 1+4i / (1+i)

acima temos uma divisão com números complexos, para resolvê-la temos que multiplicar o numerador e o denominador da fração que obtivemos pelo conjugado do denominador dessa fração. O denominador dela é:

1 + i

sendo assim, o conjugado será 1 - i, pois basta trocar o sinal da parte imaginária (i)

z = (1 + 4i).(1-i) / (1+i).(1-i)

primeira parte:

(1 + 4i).(1-i)

vamos utilizar a propriedade distributiva (ou chuveirinho), o resultado será:

1 - i + 4i - 4i^2

lembre-se que i^2 é igual a -1, portanto, obteremos:

1 - i + 4i - 4(-1)

1 - i + 4i + 4

5 + 3i

desse modo, no numerador da fração, teremos 5 + 3i

agora, observe o que está no denominador da fração:

(1+i).(1-i)

basta você fazer o quadrado do primeiro MENOS o quadrado do segundo:

1^2 = 1

i^2 = -1

logo, 1 -(-1) --> 1+1 = 2

o resultado final de (1+i). z-3-i = -2+3i é igual a Z = 5 + 3i / 2