Question

Determine z E C tal que
${z}^{2} = 2i$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja $\sf z=a+bi$

Temos que:

$\sf z^2=(a+bi)^2$

$\sf z^2=a^2+2abi+b^2i^2$

$\sf z^2=(a^2-b^2)+2abi$

Assim:

$\sf (a^2-b^2)+2abi=2i$

Devemos ter:

• $\sf a^2-b^2=0~\rightarrow~a^2=b^2$

• $\sf 2ab=2~\rightarrow~ab=1$

Da segunda equação, $\sf b=\dfrac{1}{a}$

Substituindo em $\sf a^2=b^2$:

$\sf a^2=\left(\dfrac{1}{a}\right)^2$

$\sf a^2=\dfrac{1}{a^2}$

$\sf a^2\cdot a^2=1$

$\sf a^4=1$

$\sf a=\pm\sqrt[4]{1}$

$\sf a=1$ ou $\sf a=-1$

• Para $\sf a=1$:

$\sf b=\dfrac{1}{1}~\rightarrow~b=1$

• Para $\sf a=-1$:

$\sf b=\dfrac{1}{-1}~\rightarrow~b=-1$

Logo, $\sf z=1+i$ ou $\sf z=-1-i$