Question

Determine y: (sen 105°) - (cos 75°)

Answer 1

sen(a+b) = sena.cosb + cosa.senb, logo
sen(105°) = sen(60°  + 45°) = sen60°.cos45° + cos60°.sen45°
seja R(n) = Raiz quadrade de n, entao
sen(105°) = R(3)/2.R(2)/2 + 1/2.R(2)/2 = R(6)/4 + R(2)/4

cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb, logo:
cos(75°) = cos(30°+45°) = cos30°.cos45° - sen30°.sen45°
cos(75°) = R(3)/2.R(2)/2 - 1/2.R(2)/2 = R(6)/4 - R(2)/4

sen(105°) - cos(75°) =
[ R(6)/4 + R(2)/4 ] - [ R(6)/4 - R(2)/4 ] =
R(6)/4 + R(2)/4 - R(6)/4 + R(2)/4 = 2.R(2)/4  .... Note que R(6)/4 - R(6)/4 = 0
R(2)/2

Daí temos que sen(105°) - cos(75°) = Raiz quadrada de 2 sobre 2.

Abços.

Bons estudos.

Answer 2

O valor da expressão y = sen(105) - cos(75) é √2/2.

Observe que 105 = 60 + 45. Então, para calcularmos o seno de 105º, utilizaremos o seno da soma:

• sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a).

Dito isso, temos que:

sen(60 + 45) = sen(60).cos(45) + sen(45).cos(60).

Sabendo que sen(60) = √3/2, cos(45) = sen(45) = √2/2 e cos(60) = 1/2, podemos afirmar que o valor do seno de 105º é:

sen(105) = (√3/2).(√2/2) + (√2/2).(1/2)

sen(105) = √6/4 + √2/4.

Da mesma forma, temos que 75 = 30 + 45. O cosseno da soma é definido por:

• cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b).

Então, o cosseno de 75º é igual a:

cos(30 + 45) = cos(30).cos(45) - sen(30).sen(45)

cos(75) = (√3/2).(√2/2) - (1/2).(√2/2)

cos(75) = √6/4 - √2/4.

Portanto, podemos afirmar que o valor de y é:

y = √6/4 + √2/4 - (√6/4 - √2/4)

y = √6/4 + √2/4 - √6/4 + √2/4

y = √2/2.

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