Question

Determine x, y e z, sabendo que x, y e z são termos consecutivos de uma progressão aritmética, z, y e x são termos consecutivos de uma progressão geométrica e x + y + z = 12.​

Answer 1

Se a sequencia {x , y , z}, nesta ordem, é uma PA então podemos reescrever os termos "y" e "z" em função de "x" e da razão da PA:

$\rightarrow~\boxed{y~=~x+r}\\\\\rightarrow~\boxed{z~=~x+2r}$

Sabemos que x+y+z = 12, logo:

$x~+~y~+~z~=~12\\\\\\x~+~(x+r)~+~(x+2r)~=~12\\\\\\3x~+~3r~=~12\\\\\\x+r~=~4\\\\\\\boxed{r~=~4-x}$

Vamos agora analisar a sequencia {z , y , x}, nesta ordem, que, segundo o texto, é uma PG.

Se essa sequencia é uma PG, a razão deve ser mantida constante, logo:

$razao~(q):~~\frac{x}{y}~=~\frac{y}{z}\\\\\\Substituindo~o~"y"~e~o~"z"~na~equacao:\\\\\\\frac{x}{x+r}~=~\frac{x+r}{x+2r}\\\\\\Substituindo~"r":\\\\\\\frac{x}{x+(4-x)}~=~\frac{x+(4-x)}{x+2.(4-x)}\\\\\\\frac{x}{4}~=~\frac{4}{-x+8}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\-x^2+8x~=~16\\\\\\x^2-8x+16~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-8)^2-4.1.16~=~16~-~16~=~\boxed{0}\\\\\\x'~=~x''~=~\frac{8\pm\sqrt{0}}{2~.~1}~=~\frac{8}{2}~=~\boxed{4}$

Agora, substituindo o valor de "x", podemos determinar "r", "y" e "z":

$r~=~4-x\\\\r~=~4-4\\\\\boxed{r~=~0}\\\\\\y~=~4+r\\\\y~=~4+0\\\\\boxed{y~=~4}\\\\\\z~=~4+2r\\\\z~=~4+2\,.\,0\\\\\boxed{z~=~4}$