Question

Determine x, tal que:

a) | 2x 3x+2 | = 0
| 1 x |

b) | 2x x-2 | = 11
| 4x+5 3x-1 |

Answer 1

$\left[\begin{array}{cc}2x&3x+2\\1&x\\ \end{array}\right] = 0$

O determinante de uma matriz $2\times2$ é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Diagonal principal: do canto superior esquerdo para o canto inferior direito.
Diagonal secundária: a outra, ou melhor, do canto superior direito para o canto inferior esquerdo.

Vamos lá:

Na letra a) os elementos da diagonal principal são $2x$ e $x$, seu pronto é $2x\cdot x=2x^2$.

Já os elementos da diagonal secundária dessa mesma matriz são $3x+2$ e $1$. O produto desses elementos é $(3x+2)\cdot1=3x+2$.

Logo, determinante dessa matriz é dado por $2x^2-(3x+2)$. Como queremos que ele valha $0$, basta resolver a equação:

$2x^2-(3x+2)=0$

Faz o jogo de sinal, $2x^2-3x-2=0$. Agora, Bhaskara: 

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$

$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\dfrac{3\pm5}{4}$

$x'=\dfrac{3+5}{4}=\dfrac{8}{4}=2$

$x"=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

$S=\left \{{\frac{-1}{2}, 2 \} \right$

Agora a b)

b) Mesmo esquema da a):

$\left[\begin{array}{cc}2x&x-2\\4x+5&3x-1\\ \end{array}\right] = 11$

$2x\cdot(3x-1)-(x-2)\cdot(4x+5)=11$

$6x^2-2x-(4x^2+5x-8x-10)=11$

$6x^2-2x-4x^2+3x+10=11$

$2x^2+x-1=0$

$\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9$

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}=\dfrac{-1\pm3}{4}$

$x'=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$x"=\dfrac{-1-3}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1$

$S=\left \{{\frac{1}{2}, -1 \} \right$

Answer 2

Resposta:

\begin{lgathered}\left[\begin{array}{cc}2x&3x+2\\1&x\\ \end{array}\right] = 0\end{lgathered}

[

2x

1

3x+2

x

]=0

O determinante de uma matriz 2\times22×2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Diagonal principal: do canto superior esquerdo para o canto inferior direito.

Diagonal secundária: a outra, ou melhor, do canto superior direito para o canto inferior esquerdo.

Vamos lá:

Na letra a) os elementos da diagonal principal são 2x2x e xx , seu pronto é 2x\cdot x=2x^22x⋅x=2x

2

.

Já os elementos da diagonal secundária dessa mesma matriz são 3x+23x+2 e 11 . O produto desses elementos é (3x+2)\cdot1=3x+2(3x+2)⋅1=3x+2 .

Logo, determinante dessa matriz é dado por 2x^2-(3x+2)2x

2

−(3x+2) . Como queremos que ele valha 00 , basta resolver a equação:

2x^2-(3x+2)=02x

2

−(3x+2)=0

Faz o jogo de sinal, 2x^2-3x-2=02x

2

−3x−2=0 . Agora, Bhaskara:

\Delta=b^2-4acΔ=b

2

−4ac

\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25Δ=(−3)

2

−4⋅2⋅(−2)=9+16=25

x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\dfrac{3\pm5}{4}x=

2⋅2

−(−3)±

25

=

4

3±5

x'=\dfrac{3+5}{4}=\dfrac{8}{4}=2x

′

=

4

3+5

=

4

8

=2

x"=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}x"=

4

3−5

=

4

−2

=−

2

1

S=\left \{{\frac{-1}{2}, 2 \} \right

Agora a b)

b) Mesmo esquema da a):

\begin{lgathered}\left[\begin{array}{cc}2x&x-2\\4x+5&3x-1\\ \end{array}\right] = 11\end{lgathered}

[

2x

4x+5

x−2

3x−1

]=11

2x\cdot(3x-1)-(x-2)\cdot(4x+5)=112x⋅(3x−1)−(x−2)⋅(4x+5)=11

6x^2-2x-(4x^2+5x-8x-10)=116x

2

−2x−(4x

2

+5x−8x−10)=11

6x^2-2x-4x^2+3x+10=116x

2

−2x−4x

2

+3x+10=11

2x^2+x-1=02x

2

+x−1=0

\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9Δ=1

2

−4⋅2⋅(−1)=1+8=9

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}=\dfrac{-1\pm3}{4}x=

2⋅2

−1±

9

=

4

−1±3

x'=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}x

′

=

4

−1+3

=

4

2

=

2

1

x"=\dfrac{-1-3}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1x"=

4

−1−3

=

4

−4

=−1

S=\left \{{\frac{1}{2}, -1 \} \right