Question

Determine x, que satisfaça o triângulo ABC, retângulo em C em que os pontos A, B e C possuem respectivamente os valores de (2,2),(4, -12) e (-4, x):
a) 2 ou 4
b) 6 ou 4
c) -6 ou 4
d) 6 ou -4
e) -6 ou -4

Answer 1

Se o triângulo é Retângulo em C , então é válido o teorema de pitágoras :

$\text {AB}^2 = \text{BC}^2+\text{AC}^2$

Vamos fazer distância entre dois pontos para os segmentos AB, BC e AC :

Segmentos A(2,2) e B(4,-12) :

$\text{AB} = \sqrt{(2-4)^2+(2-(-12))^2}$

$\text{AB} = \sqrt{(-2)^2+(14)^2}$

$\text{AB}=\sqrt{200}$

Segmentos B(4,-12) e C(-4, x) :

$\text{BC} = \sqrt{(4-(-4))^2+(-12-\text x )^2}$

$\text{BC} = \sqrt{(4+4)^2+(12+\text x )^2}$

$\text{BC} = \sqrt{64+(12+\text x )^2}$

Segmentos A(2,2) e C(-4,x) :

$\text{AC} = \sqrt{(2-(-4))^2+(2-\text x )^2}$

$\text{AC} = \sqrt{(2+4)^2+(2-\text x )^2}$

$\text{AC} = \sqrt{36+(2-\text x )^2}$

Substituindo no teorema de pitágoras  :

$\text {AB}^2 = \text{BC}^2+\text{AC}^2$

$(\sqrt{200})^2=(\sqrt{64+(12+\text x)^2})^2+(\sqrt{36+(2-\text x)^2})^2$

$200=64+(12+\text x)^2+36+(2-\text x)^2$

$200-64-36=(12+\text x)^2+(2-\text x)^2$

$100=144+24\text x+\text x^2 + 4-4\text x +\text x^2$

$2\text x^2 -20\text x = 100 -144-4$

$2\text x^2 -20\text x +48 = 0$

$\text x^2 -10\text x +24 = 0$

$\text x^2 -10\text x +24 +1= 1$

$\text x^2 -10\text x +25= 1$

$(\text x-5)^2 = 1$

$\text x-5 = \pm \ 1$

$\text x = 5 \pm 1$

$\text x = 5+1 \to \text x = 6$

$\text x = 5-1 \to \text x = 4$

Portanto :

$\huge\boxed{\text x = 6 \ \ \text{ou} \ \ \text x = 4}\checkmark$

Letra b