Question

Determine x para que os números x-2, x+2 e 2x+4 formem nessa ordem de uma P.G.​

Answer 1

Para que a sequencia apresentada seja uma PG, sua razão (q) deve ser mantida constante, logo:

$\dfrac{a_3}{a_2}~=~\dfrac{a_2}{a_1}\\\\\\\dfrac{2x+4}{x+2}~=~\dfrac{x+2}{x-2}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\(2x+4)~.~(x-2)~=~(x+2)~.~(x+2)\\\\\\2x^2-8~=~x^2+4x+4\\\\\\2x^2-x^2-4x-8-4~=~0\\\\\\\boxed{x^2-4x-12~=~0}\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\Delta~=~(-4)^2-4.1.(-12)~=~16+48~=~\boxed{64}\\\\\\x'~=~\dfrac{4+\sqrt{64}}{2~.~1}~=~\dfrac{4+8}{2}~=~\dfrac{12}{2}~=~\boxed{6}\\\\\\x''~=~\dfrac{4-\sqrt{64}}{2~.~1}~=~\dfrac{4-8}{2}~=~\dfrac{-4}{2}~=~\boxed{-2}$

Temos 2 possibilidades para "x", vamos ver como ficam os termos da sequencia para x' e para x'':

Para x = x':  {4 , 8 , 16}

Para x = x'': {-4 , 0 , 0}

Podemos ver que a primeira sequencia é uma PG de razão 2, já a segunda sequencia não é uma PG, ou seja, o único valor de "x" para que a sequencia apresentada seja uma PG é x = 6

Resposta: x = 6