Question

Determine x para que o triângulo de vértices (3,5), (1,3) e (x,1) seja equilátero

Answer 1

Oi Biel,

Pra que o triângulo seja equilátero as distancias entre seus vértices deve ser iguais, assim:

Atribuindo nomes aos vértices:  A = (3,5) , B = (1,3) , e C = (x,1)

então a distância entre A e B tem que ser igual a distância entre A e C

Fórmula da distancia entre dois pontos: 
$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

faremos que a distancia entre A e B é igual a distância de A até C

$d_{(A.B)} = d_{(A,C)}$

Agora vamos Calcular a distancia de A até B:

$d_{(A,B)} = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 +(y_{B}-y_{A})^2}$

Substituindo os valores:
$d_{(A,B)} = \sqrt{(1-3)^2 +(3-5)^2$
$d_{(A,B)} = \sqrt{(-2)^2 +(-2)^2$
$d_{(A,B)} = \sqrt{4 +4$
$d_{(A,B)} = \sqrt{8}$

Essa distancia é igual a $d_{A,C}$ que é:
$d_{(A,C)} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^2 +(y_{C}-y_{A})^2}$
substituindo os valores que temos:
$d_{(A,C)} = \sqrt{(x_{C}-3)^2 +(1-5)^2}$
$d_{(A,C)} = \sqrt{(x^2 - (2*x*3 + 9) +(-4)^2}$
$d_{(A,C)} = \sqrt{x^2 - 6x+ 9 +16}$
$d_{(A,C)} = \sqrt{x^2 - 6x+ 25$
lembrando que essa distância tem que ser igual a : $\sqrt{8}$ pelo raciocínio feito antes.

então:

$\sqrt{x^2 - 6x+ 25} = \sqrt{8}$  (Cancela as raízes dos dois lados)

$x^2 - 6x+ 25 = 8$
$x^2 - 6x+ 25-8=0$
$x^2 - 6x+ 17=0$

Usando a fórmula de Bhaskara, podemos  concluir que essa equação não possue raizes reais pois Delta é negativo, então não há nenhum valor de X do ponto C que possa fazer com que esses três pontos (A,B e C) sejam vértices de um triângulo equilátero.

P.S.  Biel, você teria o Gabarito desta questão pra conferirmos ?
Acho que é isso, qualquer dúvida pode perguntar, ;D