Question

Determine x e y

Dado tg de alfa = 1/2

Hipotenusa=5
Cateto adjacente= x
E cateto oposto= y

Answer 1

$x$ e $y$ são medidas dos catetos de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede $5$ unidades. Logo, vale o Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo:

$x^2+y^2=5^2\\\\ x^2+y^2=25~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Da definição da tangente de um ângulo $\alpha\,$

$\mathrm{tg\,}\alpha=\dfrac{\text{cateto oposto de }\alpha}{\text{cateto adjacente de }\alpha}$


Então, para este triângulo, devemos ter

$\mathrm{tg\,}\alpha=\dfrac{y}{x}~~~~~~~~\big(\text{mas }\mathrm{tg\,}\alpha=\frac{1}{2}\big)\\\\\\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{y}{x}\\\\\\ 2y=x~~~~~~\mathbf{(ii)}$

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Na equação $\mathbf{(i)}$ do Teorema de Pitágoras, substituimos $x$ por $2y:$

$(2y)^2+y^2=25\\\\ 4y^2+y^2=25\\\\ 5y^2=25\\\\ y^2=\dfrac{25}{5}\\\\ y^2=5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=\sqrt{5} \end{array}}$


Encontrando o valor de $x:$

$x=2y\\\\ x=2\cdot \sqrt{5}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=2\sqrt{5} \end{array}}$