Question

Determine x de tal forma que a seguinte igualdade seja verdadeira:

Answer 1

$\large{ \green{ \bold{{x = \frac{\sqrt{3}}{ 3} \: \: \: e \: \: \: x = - \frac{\sqrt{3}}{ 3 } }}}}$

explicação:

temos que fazer os determinantes dos dois lados da igualdade.

vou fazer separadamente e depois juntamos no fim.

DETERMINANTE DE ORDEM 3:

$\left|\begin{array}{ccc} x - 1&2 &x\\ 0&1& - 1 \\3x &x + 1&2x\end{array}\right|$

resolvendo pela regra de sarrus:

$\small{\left|\begin{array}{ccc} x - 1&2 &x\\ 0&1& - 1 \\3x &x + 1&2x\end{array}\right|\begin{array}{ccc} x - 1&2\\ 0&1 \\3x &x + 1\end{array}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$\tiny{(x - 1) \: . \: 1 \: . \: 2x + 2 \: . \: ( - 1) \: . \: 3x + x \: . \: 0 \: . \: (x + 1) - ( \: \: \: } x \: . \: 1. \: 3x + (x - 1) \: . \: ( - 1) \: .(x + 1) + 2 \: . \: 0 \: . \: 2x)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$\small{2 {x}^{2} - 2x - 6x + 0 - (3 {x}^{2} - {x}^{2} - x + x + 1 + 0)}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$2{x}^{2} - 8x - (2{x}^{2} + 1)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$2 {x}^{2} - 8x - 2 {x}^{2} - 1$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$\red{ \bold{ \large{ - 8x - 1}}}$

esta é o determinante desta matriz de ordem 3.

.............

AGORA VAMOS FAZER AQUELE DETERMINANTE DEPOIS DO SINAL DE IGUAL. DETERMINANTE DE ORDEM 2.

$\left| \begin{array}{ccc} 3x&2x\\ 4& - x \end{array}\right|$

$⇩$

$3x \: . \: ( - x) - 2x \: . \: 4$

$⇩$

$\red{ \bold{ \large{ - 3 {x}^{2} - 8x}}}$

este é o determinante de ordem 2 .

........

lá em cima temos que o determinante de ordem 3 é igual ao determinante de ordem 2 entao pegue o que achamos de cada determinante e iguale.

- 8x - 1 = - 3x² - 8x

resolvendo:

- 8x - 1 + 3x² + 8x = 0

3x² - 1 = 0

3x² = 1

x² = 1/3

x = $± \sqrt{ \frac{1}{3} }$

entao as respostas seriam:

$\large{ \green{ \bold{{x = \frac{1}{ \sqrt{3} } \: \: \: e \: \: \: x = - \frac{1}{ \sqrt{3} } }}}}$

mas como temos raízes em baixo nos denominadores temos que racionalizar as duas respostas. e nossas respostas finais são:

$\large{ \green{ \bold{{x = \frac{\sqrt{3}}{ 3} \: \: \: e \: \: \: x = - \frac{\sqrt{3}}{ 3 } }}}}$