Question

determine x de modo que os pontos A(-1,3),B(x,2) e C(3,4) sejam os vértices de um triangulo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alunobomaluno, que a resolução é simples. Só é um pouco trabalhosa pois envolve a resolução de uma matriz de ordem 3.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para determinar o valor de "x" de modo que os pontos seguintes sejam colineares (ou seja, estejam na mesma linha):

A(-1; 3); B(x; 2) e C(3; 4).

Veja: para que os pontos dados sejam colineares (ou estejam na mesma linha) é necessário que seja igual a zero o determinante da matriz formada pelas coordenadas de cada ponto.
Assim, como os pontos são A(-1; 3), B(x; 2) e C(3; 4), então vamos formar a matriz e já deixá-la na forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|-1.....3....1|-1....3|
|x.....2.....1|x......2| = 0 ---- desenvolvendo, teremos:
|3.....4.....1|3.....4|

(-1)*2*1 + 3*1*3 + 1*x*4 - [3*2*1 + 4*1*(-1) + 1*x*3] = 0
-2 + 9 + 4x - [6 - 4 + 3x] = 0
7 + 4x - [2 + 3x] = 0 --- retirando-se os colchetes, ficaremos:
7 + 4x - 2 - 3x = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x + 5 = 0 ---- passando "5" para o 2º membro, teremos:
x = -5 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este deverá ser o valor de "x" para que os pontos dados sejam colineares (ou estejam na mesma linha).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.