Question

Determine x de modo que a sequência (x-1,x ao quadrado -4,3x-1) seja uma PA crescente ... A resposta é 3.

Answer 1

P.A.=(x-1, x²-4, 3x-1).

A média aritmética nos diz que, em uma P.A., tal termo é igual a seu antecessor mais seu sucessor, dividido por 2. Visto que:
$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n \\\\ a_n+a_n=a_{n+1}+a_{n-1} \\\\ 2a_n=a_{n+1}+a_{n-1} \\\\ a_n=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2},n \geq 2$

Para encontrar o valor de x dessa questão, basta substituir os termos na fórmula.
$a_n=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2},n \geq 2 \\ \\ a_2=\frac{a_{2+1}+a_{2-1}}{2} \\ \\ a_2=\frac{a_{3}+a_{1}}{2} \\ \\ (x^2-4)=\frac{(3x-1)+(x-1)}{2} \\ \\ x^2-4= \frac{3x-1+x-1}{2} \\ \\ x^2-4= \frac{4x-2}{2} \\ \\ x^2-4= \frac{4x}{2}- \frac{2}{2} \\ \\ x^2-4=2x-1 \\ \\ x^2-2x-4+1=0 \\ \\ x^2-2x-3=0 \\ \\Delta=16 \\ \\ x'=-1 \\ \\ x''=3$


Tem-se dois valores possíveis para que essa sequência seja uma P.A.. A questão
indica que a P.A. deve ser crescente.

Para x' = -1:
P.A. = (x - 1, x² - 4, 3x - 1).
P.A. = ((-1)-1, (-1)² -4, 3(-1) -1)
P.A. = (-2, -3, -4)
r = a2 - a1
r = (-3) -(-2)
r = -3 + 2
r = -1
Como a razão desta P.A. é menor que 0 (r < 0), esta P.A. é decrescente.


Para x''=3:
P.A. = (x - 1, x² - 4, 3x - 1).
P.A. = ((3)-1, (3)² -4, 3(3) -1)
P.A. = (2, 5, 8)
r = a2 - a1
r = (5) - (2)
r = 5 - 2
r = 3
A razão desta P.A. é maior que 0 (r > 0), logo essa P.A. é crescente.

Portanto, para que essa P.A. seja crescente, x = 3.