Question

Determine x de modo que a seqüência (log (x-2), log 4x, log 32x) seja uma P.A.

Answer 1

Para que A, B e C sejam uma PA:

A+X=B

B+X=C

Ou seja:

C-B = B-A

(log2 32x) - (log2 4x) = (log2 4x) - (log2(x-2))

Precisaremos das seguintes fórmulas de logaritmos:

F1 - logA + logB = log(A.B)

F2 - logA - logB = log(A/B)

F3 - logA^n = n.logA

Com isso, nossa equação fica:

[(log2 32) + (log2 x)] - [(log2 4) + (log2 x)] = [(log2 4) + log2 x] - log2(x-2) :(Aplicado F1)

[(log2 2⁵) + (log2 x)] - [(log2 2²) + (log2 x)] = [(log2 2²) + log2 x] - log2(x-2) :(Aplicado F3)

[5(log2 2) + (log2 x)] - [2(log2 2) + (log2 x)] = [2(log2 2) + log2 x] - log2(x-2)

5(log2 2) + (log2 x) - 2(log2 2) - (log2 x) = 2(log2 2) + log2 x - log2(x-2)

5(log2 2) + (log2 x) - 2(log2 2) - (log2 x) - 2(log2 2) = + log2 x - log2(x-2)

log2 2 = log2 x - log2(x-2)

log2 2 = log2 (x/(x-2)) :(Aplicado F2)

Tirando os logaritmos de ambos os lados:

2 = x/(x-2)

2(x-2)=x

2x-4=x

x=4