Question

Determine x de modo que a sequencia (3x-8, 2x+1, x^2-2) seja uma P.A.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ziele, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o valor de "x" de modo que a sequência abaixo seja uma PA (Progresso Aritmética):

(3x-8; 2x+1; x²-2)

ii) Veja: para que a sequência acima seja uma PA, então a razão (r) dessa PA deverá ser constante e obtida pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente.
Logo, para que a sequência seja uma PA, deveremos ter isto:

x²-2 - (2x+1) = 2x+1 - (3x-8) ----- desenvolvendo, teremos:
x²-2 - 2x - 1 = 2x+1 - 3x + 8 --- reduzindo os termos semelhantes de cada membro, ficaremos assim:

x² - 2x - 3 = - x + 9 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² - 2x - 3 + x - 9 = 0 --- reduzindo novamente os termos semelhantes, teremos:

x² - x - 12 = 0 ---- agora note isto: se você aplicar Bháskara vai encontrar que esta equação do 2º grau tem as seguintes raízes:

x' = - 3
x'' = 4

iii) Assim, resumindo, temos que "x" poderá ser um dos seguintes valores:

x = -3; ou x = 4 <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada, pois a questão pede apenas o valor de "x".
Mas apenas por mera curiosidade, vamos substituir "x" por "-3" e depois por "4" e vamos ver se a sequência formará mesmo uma PA. Vamos ver:

- Se o valor de "x" for igual a "-3", teremos isto, substituindo-se o "x" da sequência por "-3". Note que a sequência é esta:

(3x-8; 2x+1; x²-2) ---- substituindo-se "x" por "-3", teremos:
(3*(-3)-8; 2*(-3)+1; (-3)²-2) = (-9-8; -6+1; 9-2) = (-17; -5; 7) <--- Veja que é uma PA de razão igual a "12", pois: "-17+12 = -5"; e "-5+12 = 7"

- Se o valor de "x" for igual a "4", teremos isto, substituindo-se o "x" da sequência por "4". Note que a sequência é esta:

(3x-8; 2x+1; x²-2) --- substituindo-se "x" por "4", teremos:
(3*4-8; 2*4+1; 4²-2) = (12-8; 8+1; 16-2) = (4; 9; 14) <--- Veja que é uma PA de razão igual a "5", pois: "4+5 = 9"; e "9+5 = 14".

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.