Matemática, perguntado por rafaelaoliveira6102, 5 meses atrás

Determine x de maneira que os pontos A (3,5), B(1,3) e C(x,1) sejam os vértices de um triângulo

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Determinando $x$ de maneira que os pontos dados sejam os vértices de um triângulo obtemos que $x\in\mathbb{R}$ – { $-\,1$ }, ou em outras palavras, $x$ pode ser qualquer número real exceto o – 1.

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Considerações

⠀⠀Para saber se três pontos formam vértices de um triângulo basta calcular o valor do determinante formado por suas coordenadas. Se seu valor for diferente de zero os pontos não serão colineares, e não estando alinhados formarão vértices de um triângulo. Entretanto, se o determinante for nulo os três pontos serão colineares, e estando alinhados pertencerão à uma reta.

⠀⠀O determinante que citei é o que se situa — considerando três pontos $\small\text{$A(x_a~,~y_a)$}$ , $\small\text{$B(x_b~,~y_b)$}$ e $\small\text{$C(x_c~,~y_c)$}$ — na forma:

$\Large\begin{array}{ccc}D=\begin{vmatrix}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{vmatrix}\end{array}$

⠀⠀Obs.: para calcular $D$ nós usamos a regra de Sarrus, que é sempre usada em determinantes 3x3, se trata de repetir as duas colunas iniciais, fazer a soma do produto da diagonal principal e subtrair da soma do produto da diagonal secundária.

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Voltando à questão

⠀⠀Desejamos calcular $x$ de modo que os pontos $\small\text{$A(3~,~5)$}$ , $\small\text{$B(1~,~3)$}$ e $\small\text{$C(x~,~1)$}$ não estejam alinhados, sendo vértices de um triângulo. Com base no supradito, os pontos serão vértices, se:

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$\large\begin{array}{ccc}D=\begin{vmatrix}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{vmatrix}\neq0\\\\\begin{vmatrix}3&5&1\\1&3&1\\x&1&1\end{vmatrix}\neq0\\\\\begin{vmatrix}3&5&1\\1&3&1\\x&1&1\end{vmatrix}\begin{matrix}3&5\\1&3\\x&1\end{matrix}\neq0\\\\3\cdot3\cdot1+5\cdot1\cdot x+1\cdot1\cdot1-(1\cdot3\cdot x+3\cdot1\cdot1+5\cdot1\cdot1)\neq0\\\\9+5x+1-(3x+3+5)\neq0\\\\5x+10-(3x+8)\neq0\\\\5x+10-3x-8\neq0\\\\2x+2\neq0\\\\2x\neq-\,2\\\\x\neq-\,\dfrac{2}{2}\\\\\!\boxed{x\neq-\,1}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que $x\in\mathbb{R}$ – { $-\,1$ }, ou seja, o único valor que $x$ não pode assumir é o – 1, logo se

Nota: veja em anexo como ficam os pontos com $\small\text{$x\neq-\,1$}$ (formando vértices de um triangulo) e com $x=-\,1$ (pertencendo à uma reta).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$