Question

determine x de maneira q os pontos A(3,5) B(1 ,3) e C(x,1) seja vértices de um triâgulo

Answer 1

Para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo, deveremos ter que os três pontos não sejam colineares, isto é, não pertençam a uma mesma reta. Teremos essa condição quando:
$Det \left[\begin{array}{ccc}3&5&1\\1&3&1\\x&1&1\end{array}\right] \neq 0$

Obs.: perceba que na primeira coluna coloquei todos os valores das coordenadas x, na segunda coluna coloquei todos os valores das coordenadas y e que a última coluna foi preenchida com 1.

Calculando esse determinante:
$Det \left[\begin{array}{ccc}3&5&1\\1&3&1\\x&1&1\end{array}\right] \neq 0 \\ \\ 3 \cdot 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot x + 1 \cdot 1 \cdot 1 - x \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 5 \neq 0 \\ \\ 9+5x+1-3x-3-5 \neq 0 \\ \\ 5x-3x \neq -9-1+3+5 \\ \\ 2x \neq -2 \\ \\ x \neq -\frac{2}{2} \\ \\ \boxed{\boxed{x \neq -1}}$

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Outra maneira de solucionar o problema é criando uma reta entre os segmentos A e B, e depois impor que o ponto C não pode pertencer a essa reta. Perceba:

Criando uma reta que passa pelos pontos A e B:
$y-y'= m \cdot (x-x') \\ \\ y-5= \frac{3-5}{1-3} \cdot (x-3) \\ \\ y-5= 1 \cdot (x-3) \\ \\ y= x-3+5 \\ \\ y= x+2$

Encontrando o valor de x para que o ponto C não pertença a essa reta:
$y= x+2 \\ \\ 1 \neq x+2 \\ \\ 1 -2 \neq x \\ \\ \boxed{\boxed{-1 \neq x}}$