Question

Determine x a fim de que a matriz A seja igual a sua inversa:


A= ( 1 2)
......(0 x)

Answer 1

Resposta: -1

Explicação passo-a-passo:

Um truque muito bom para calcular a inversa de matrizes 2x2 é o seguinte:

1) Calcula-se o determinante da matriz original. Nesse caso, detA = x.

2) Agora pegue a matriz original, troque de posição os elementos da diagonal principal e nos elementos da diagonal secundária você apenas troca o sinal, então:

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&x\end{array}\right]$ fica $\left[\begin{array}{cc}x&-2\\0&1\end{array}\right]$

3) A matriz inversa é $A^{-1} = \frac{1}{detA} . (matriz-modificada)$

Dessa forma, a nossa matriz fica:

$A^{-1} = \frac{1}{x} . \left[\begin{array}{cc}x&-2\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1&\frac{-2}{x} \\0&\frac{1}{x} \end{array}\right]$

Dessa forma, eu quero que minha matriz A seja igual a sua inversa A^-1.

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&x\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&\frac{-2}{x} \\0&\frac{1}{x} \end{array}\right]$

Pela igualdade das matrizes, temos que:

$2 = \frac{-2}{x} \\x = -1$

ou

$x = \frac{1}{x}\\x^2 = 1\\x = \pm 1$

x deve ser igual a -1 para satisfazer as duas equações.