Question

Determine whether the triangles on the grid are congruent, justify your reasoning (use the distance formula)

Answer 1

Os triângulos $\triangle JKL \ e \ \triangle BCD$  são congruentes.

Essa questão trabalha aborda duas temas importantes da geometria: a geometria analítica e congruência triangular.

Veja que a questão pede para usarmos a fórmula da distância. A fórmula a que se refere é a Fórmula da Distância entre Dois Pontos.

Ela é dada por:

$Dist{\^a}ncia \ entre \ P1 = {(x_{1}, y_{1})} \ e \ P2 = {(x_{2}, y_{2})} :\\D = \sqrt{(x_{1} - x_{2} )^{2} +(y_{1} - y_{2} )^{2} }$

Como cada triângulo tem três pontos, então para cada um deles, usamos essa fórmula três vezes obtendo o tamanho dos lados por meio das coordenadas dos pontos.

• Para o  $\triangle JKL$ :

$Dist{\^a}ncia \ entre \ J = (-1, 8) \ e \ K = (2, 5) :\\\\JK = \sqrt{(-1 - 2 )^{2} +(8 - 5)^{2} }\\\\\JK = \sqrt{(-3 )^{2} +(3)^{2} }\\\\JK = \sqrt{9 + 9}\\\\JK = \sqrt{2 \times 3^{2} }\\\\JK = 3\sqrt{2}\\\\\\\\Dist{\^a}ncia \ entre \ J = (-1, 8) \ e \ L = (0, 3) :\\\\JL = \sqrt{(-1)^{2} +(8 - 3)^{2} }\\\\\JL = \sqrt{(-1)^{2} +(5)^{2} }\\\\JL = \sqrt{1 + 26}\\\\JL = \sqrt{26}$

$Dist{\^a}ncia \ entre \ L = (0, 3) \ e \ K = (2, 5) :\\\\JL = \sqrt{(0 - 2)^{2} +(3 - 5)^{2} }\\\\\JL = \sqrt{(-2)^{2} +(-2)^{2} }\\\\JL = \sqrt{8}\\\\JL = 2\sqrt{2}$

As medidas dos lados de $\triangle JKL$ são então:  $3\sqrt{2} \ , \ \sqrt{26} \ e \ 2\sqrt{2}$

• Para o $\triangle BCD$ :

$Dist{\^a}ncia \ entre \ B = (-6, 1) \ e \ C = (-3, 4) :\\\\BC = \sqrt{(-6 - (-3))^{2} +(1 - 4)^{2} }\\\\\ BC = \sqrt{(-3)^{2} +(-3)^{2} }\\\\BC = \sqrt{9 + 9}\\\\BC = 3\sqrt{2}\\\\\\\\Dist{\^a}ncia \ entre \ B = (-6, 1) \ e \ D = (-1, 2) :\\\\BD = \sqrt{(-6 - (-1))^{2} +(1 - 2)^{2} }\\\\\ BD = \sqrt{(-5)^{2} +(-1)^{2} }\\\\BD = \sqrt{26 + 1}\\\\ BD = \sqrt{26}$

$Dist{\^a}ncia \ entre \ C = (-3, 4) \ e \ D = (-1, 2) :\\\\ CD = \sqrt{(-3 - (-1))^{2} +(4 - 2)^{2} }\\\\\ CD = \sqrt{(-2)^{2} +(2)^{2} }\\\\ CD = \sqrt{8}\\\\ CD = 2\sqrt{2}$

As medidas dos lados de  $\triangle BCD$ são então:  $3\sqrt{2} \ , \ \sqrt{26} \ e \ 2\sqrt{2}$

Veja que os triângulos têm as mesmas medidas para os lados, de modo que, pelo caso:

• Lado, Lado, Lado (LLL): triângulos são congruentes, caso seus lados sejam congruentes;

$\therefore$  Os triângulos são congruentes.

Espero ter ajudado.

Bons estudos!

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