Question

Determine v sendo |v| = 5 e v é ortogonal ao eixo OZ, sendo v.w = 6 e w = 2j+3k
OBS: W e V sao vetores

Answer 1

Sejam 

v=(x,y,z), vetor no qual queremos encontrar
w=(0,2,3), vetor dado no enunciado
u=(0,0,1), vetor unitário paralelo ao eixo OZ

Sabendo que v.w=6, aplicaremos a fórmula do produto escalar entre dois vetores a fim de determinar uma expressão em função de x,y e z, isto é,

6=v.w=(x,y,z).(0,2,3)=x.0+y.2+z.3=2y+3z
2y+3z=6(i)

Por outro lado, sabemos que o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo e o vetor unitário u, paralelo a OZ, é ortogonal a v, logo, u.v=0. Daí,

0=v.u=(x,y,z).(0,0,1)=x.0+y.0+z.1
z=0(ii)

Substituindo (ii) em (i), temos que

2.y+3.0=6 
2y=6
y=6/2
y=3

Resta determinar o valor de x, o que pode ser obtido aplicando a expressão para norma de um vetor e usando o fato que |v|=5. De fato,

$5=|v|= \sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2} }\\= \sqrt{ x^{2}+ 3^{2} + 0^{2} }\\= \sqrt{ x^{2} +9} \\ 5= \sqrt{ x^{2} +9}\\ 25= x^{2} +9, pois \: x^{2} \geq 0\\ x^{2} =16\\ x=4 \:ou\: x=-4$
 
Portanto, v=(4,3,0) ou v=(-4,3,0)