Question

Determine V, o subespaço de R³ gerado pelos vetores

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Qualquer vetor V gerado por esses vetores, vai ser uma Combinação destes 3 vetores. Assim, podemos escrever:

V = (x, y, z) = a(2, 1, 0)  + b(1, -1, 2) + c(0, 3, -4)

V = (x, y, z) = (2a + b, a - b + 3c, 2b - 4c)

teremos 3 equações:

2a + b = x (I)

a - b + 3c = y (II)

2b - 4c = z  (III)

Colocando (i) em função de a e (II) em função de c, teremos:

2a + b = x =>2a = x - b => $a = \frac{x - b}{2}$

2b - 4c = z => - 4 c = z + 2 b => $c = \frac{z - 2b}{- 4}$

Substituindo em (ii)

a - b + 3c = y

$\frac{x - b}{2} - b + 3(\frac{z - 2b}{- 4}) = y\\\frac{-2(x - b)}{4}+ \frac{4 b}{4} -\frac{3 .(z - 2b)}{ 4} = \frac{- 4y}{4} \\\\- 2 x + 2b + 4 b - 3 z + 6 b = - 4y\\12 b = 2x - 4 y + 3 z\\b = \frac{2}{12} x - \frac{4}{12} y + \frac{3}{12} z\\b = \frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z$

$a = \frac{x -( \frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z)}{2} = - \frac{5}{12} x + \frac{1}{6} y - \frac{1}{8} z$

$c = \frac{z - 2 (\frac{1}{6} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z)}{1} = - \frac{1}{12} x + \frac{1}{6} y - \frac{7}{8} z$