Question

Determine uma solução particular yp para a EDO y'' - 7y + 10y = 8e2x



a) yp = -(8/3)xe2x




b) yp = 8xe2x


c) yp = -(4/3)e2x




d) yp = 3x2e2x




e) yp = (8/3)xe2x

Answer 1

Utilizando o metodos dos coeficientes a determinar para EDO's, econtramos uma solução particular dada por:

$y=-\frac{8}{3}.x.e^{2x}$

Letra e).

Explicação passo-a-passo:

Para determinarmos umas solução particular para a EDO:

$y''-7y'+10y=8e^{2x}$

Vamos supor uma solução do tipo:

$y=A.e^{2x}$

Onde A é uma constante que iremos determinar. Então derivando esta função:

$y'=2A.e^{2x}$

$y''=4A.e^{2x}$

Substituindo na EDO:

$(4Ae^{2x})-7(2Ae^{2x})+10(Ae^{2x})=8e^{2x}$

Colocando a exponencial em evidência:

$4Ae^{2x}-14Ae^{2x}+10Ae^{2x}=8e^{2x}$

$(4A-14A+10A)e^{2x}=8e^{2x}$

$(4A-14A+10A)=8$

$(0)=8$

Neste caso deu errado, pois a solução particar que escolhemos já era uma solução homogenea, então devemos refazer este processo para uma nova solução particular:

$y=A.x.e^{2x}$

$y'=(1+2x)A.e^{2x}$

$y'=(4+4x)A.e^{2x}$

Substituindo novamente na EDO:

$((4+4x)A.e^{2x})-7((1+2x)A.e^{2x})+10(A.x.e^{2x})=8e^{2x}$

Cortando as exponenciais em evidência:

$((4+4x)A)-7((1+2x)A)+10(A.x)=8$

$(4A+4Ax)-7(A+2Ax)+10Ax=8$

$4A+4Ax-7A-14Ax+10Ax=8$

$4A-7A=8$

$-3A=8$

$A=-\frac{8}{3}$

Então nossa solução é dada por:

$y=-\frac{8}{3}.x.e^{2x}$

Letra e).