Question

Determine uma solução do problema de valor inicial y'' + 4y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1, sabendo que a solução geral da equação diferencial é y(x) = C1sen2x + C2cos2x.

Answer 1

Como já é dada a solução geral da equação, basta utilizarmos as condições iniciais. Aplicando cada uma delas:

$y(x) = C_1\sin(2x)+C_2\cos(2x)\\\\\\ \bullet~y(0) = 0:\\\\\ y(0) = C_1\sin(2\cdot0)+C_2\cos(2\cdot0)\\ 0 = C_1\sin(0)+C_2\cos(0)\\ 0 = C_1\cdot0+C_2\cdot1\\ 0 = 0C_1+C_2\\\\ \boxed{C_2=0}\\\\\\ \bullet~y'(0) = 1:\\\\ y'(x) = 2C_1\cos(2x)-2C_2\sin(2x)\\ y'(0) = 2C_1\cos(2\cdot0)-2C_2\sin(2\cdot0)\\ 1 = 2C_1\cos(0)-2C_2\sin(0)\\ 1 = 2C_1\cdot1-2C_2\cdot0\\ 1 = 2C_1\cdot1-2C_2\cdot0\\ 1 = 2C_1\\\\ \boxed{C_1=\dfrac{1}{2}}$

Logo, a solução do PVI é:

$\boxed{y(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)}$