Question

Determine uma progressão aritmética de razão 1, sabendo que o número de
termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem
n/3 é 4.

Answer 1

Olá!

Explicação passo a passo:

De acordo com o enunciado, $\displaystyle \mathtt{r = 1}$, $\displaystyle \mathtt{S_n = 33}$, $\displaystyle \mathtt{a_{n/3} = 4}$, e, $\displaystyle \mathtt{n = 3k, \ \forall k \in \mathbb{N}}$. Posto isto, temos:

Termo geral:

$\\ \displaystyle \mathtt{a_n = a_1 + (n - 1)r} \\\\ \mathtt{a_n = a_1 + n - 1}$

Ademais,

$\\ \displaystyle \mathtt{a_{n/3} = 4} \\\\ \mathtt{a_{3k/3} = 4} \\\\ \boxed{\mathtt{a_k = 4}}$

Substituindo,

$\\ \displaystyle \mathtt{a_n = a_1 + n - 1} \\\\ \mathtt{a_k = a_1 + k - 1} \\\\ \mathtt{4 = a_1 + k - 1} \\\\ \mathtt{a_1 = 5 - k}$

Soma dos termos:

$\\ \displaystyle \mathtt{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}} \\\\ \mathtt{33 = \frac{[(5 - k) + (a_1 + n - 1)]n}{2}} \\\\ \mathtt{33 = \frac{(5 - k + 5 - k + 3k - 1)3k}{2}} \\\\ \mathtt{33 = \frac{(9 + k)3k}{2}} \\\\ \mathtt{3k(k + 9) = 66} \\\\ \mathtt{k(k + 9) = 22} \\\\ \mathtt{k \cdot (k + 9) = 2 \cdot 11} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{k = 2}}}$

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathtt{a_1 = 5 - k} \\\\ \mathtt{a_1 = 5 - 2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{a_1 = 3}}}$

Logo, $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{(3, 4, 5, 6, 7, 8)}}}$ é a sequência procurada!