Question

Determine uma PG de três termos positivos, sabendo que a soma dos termos é 21 e o produto deles é 216.

Answer 1

Determine uma PG -  Progressão Geométrica de três termos positivos, sabendo que a soma dos termos é 21 e o produto deles é 216.

A representação genérica de três termos de um Pg:

x/q , x,  xq

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A soma dos três termos:

x/q + x + xq = 21

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O produto dos três termos:

x/q . x. xq = 216 ⇒ x³ = 216 ⇒ x = $\sqrt[3]{216}$ ⇒ x = 6

Achado o valor de x vamos substituir na soma dos termos;

6/q + 6 + 6q = 21

mmc = q

6 + 6q + 6q² = 21q

6q² + 6q -21q + 6 = 0

6q² - 15q + 6 = 0 (:3)

2q² - 5q + 2 = 0

Δ = (-5)² -4.2.2

Δ = 25 - 16

Δ = 9

$q'=\frac{- (-5) + \sqrt{9} }{2.2}$

$q'=\frac{5+3}{4}$

$q'=\frac{8}{4}$

$q'=2$  ⇒ a razão desta Pg é esta porque o número dois é inteiro.

$q''=\frac{-(-5)-\sqrt{9} }{2.2}$

$q''=\frac{5-3}{4}$

$q''=\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ⇒ não serve como razão porque é número racional

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Substituindo q:

6/2 + 6 + 6.2 = 3 + 6 + 12 = 21

6/2 . 6 . 6.2 = 3 . 6 . 12 = 216

Determinando a Pg:

PG(3, 6, 12)

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Answer 2

Resposta:

termos da PG

a₁=a

a₂=a*q

a₃=a*q²

a+a*q+a*q²=21   ==>a*(1+q+q²) =21    (i)

a*(a*q)*a*q² =216  ==>a³*q³=216  ==> aq=∛216  ==>aq=6  ==>a=6/q (ii)

(ii)  em  (i)

(6/q) * (1+q+q²) =21

tudo vezes q

6+6q+6q² =21*q

2+2q+2q²=7q

2q²-5q+2=0

q'=[5+√(25-16)]/4=(5+3)/4=2

q''=[5-√(25-16)]/4=(5-3)/4=1/2

Para q =2   ==> a₁=6/2 =3      ;  a₂=3*2=6 ;  a₃=6*2=12

Para q =1/2   ==> a₁=6/(1/2)=12      ;  a₂=12*(1/2)=6  ;  a₃=6*(1/2)=3

Duas PG's

a₁=3 , a₂=6 , a₃=12

ou

a₁=12 , a₂=6 , a₃=3