Determine uma PG de três termos positivos, sabendo que a soma dos termos é 21 e o produto deles é 216.
Soluções para a tarefa
Determine uma PG - Progressão Geométrica de três termos positivos, sabendo que a soma dos termos é 21 e o produto deles é 216.
A representação genérica de três termos de um Pg:
x/q , x, xq
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A soma dos três termos:
x/q + x + xq = 21
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O produto dos três termos:
x/q . x. xq = 216 ⇒ x³ = 216 ⇒ x = ⇒ x = 6
Achado o valor de x vamos substituir na soma dos termos;
6/q + 6 + 6q = 21
mmc = q
6 + 6q + 6q² = 21q
6q² + 6q -21q + 6 = 0
6q² - 15q + 6 = 0 (:3)
2q² - 5q + 2 = 0
Δ = (-5)² -4.2.2
Δ = 25 - 16
Δ = 9
⇒ a razão desta Pg é esta porque o número dois é inteiro.
⇒ não serve como razão porque é número racional
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Substituindo q:
6/2 + 6 + 6.2 = 3 + 6 + 12 = 21
6/2 . 6 . 6.2 = 3 . 6 . 12 = 216
Determinando a Pg:
PG(3, 6, 12)
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Resposta:
termos da PG
a₁=a
a₂=a*q
a₃=a*q²
a+a*q+a*q²=21 ==>a*(1+q+q²) =21 (i)
a*(a*q)*a*q² =216 ==>a³*q³=216 ==> aq=∛216 ==>aq=6 ==>a=6/q (ii)
(ii) em (i)
(6/q) * (1+q+q²) =21
tudo vezes q
6+6q+6q² =21*q
2+2q+2q²=7q
2q²-5q+2=0
q'=[5+√(25-16)]/4=(5+3)/4=2
q''=[5-√(25-16)]/4=(5-3)/4=1/2
Para q =2 ==> a₁=6/2 =3 ; a₂=3*2=6 ; a₃=6*2=12
Para q =1/2 ==> a₁=6/(1/2)=12 ; a₂=12*(1/2)=6 ; a₃=6*(1/2)=3